[논문 리뷰] Stability of Riemann solutions to pressureless Euler equations with Coulomb-like friction by flux approximation

Qingling Zhang|arXiv (Cornell University)|2017. 06. 26.

Navier-Stokes equation solutions참고 문헌 9인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 일반화된 찰플린 기체 압력 모델을 사용하여 비동차 압력이 없는 오일러 방정식에 쿠론드-유사 마찰을 도입한 경우, 유량 근사에 의한 리만 해의 안정성을 확립한다. 비선형 유량 편미분 매개변수 A를 도입함으로써 근사 시스템은 엄밀히 쌍곡선이 되며, A → 0일 때 원래 시스템의 해로 수렴하는 명시적 리만 해를 포함하여 델타 충격파와 진공 상태를 포함한다.

ABSTRACT

We study the stability of Riemann solutions to pressureless Euler equations with Coulomb-like friction under the nonlinear approximation of flux functions with one parameter. The approximated system can be seen as the generalized Chaplygin pressure Aw-Rascle model with Coulomb-like friction, which is also equivalent to the nonsymmetric system of Keyfitz-Kranzer type with generalized Chaplygin pressure and Coulomb-like friction. Compared with the original system, The approximated system is strictly hyperbolic, which has one eigenvalue genuinely nonlinear and the other linearly degenerate. Hence, the structure of its Riemann solutions is much different from the ones of the original system. However, it is proven that the Riemann solutions for the approximated system converge to the corresponding ones to the original system as the perturbation parameter tends to zero, which shows that the Riemann solutions to nonhomogeneous pressureless Euler equations is stable under such kind of flux approximation. The result in this paper generalizes the stability of Riemann solutions with respect to flux perturbation from the well-known homogeneous case to the nonhomogeneous case.

연구 동기 및 목표

• 비압력 오일러 방정식에 쿠론드-유사 마찰이 있는 비동차 시스템에서 리만 해의 안정성 결과가 부족한 문제를 해결하기 위해.
• 일반화된 찰플린 압력에 의한 비선형 유량 근사에 따른 리만 해의 거동을 분석하기 위해.
• 편미분 매개변수 A가 0으로 수렴할 때 근사 리만 해가 원래 시스템의 해로 수렴함을 확립하기 위해.
• 델타 충격파 해가 유량 편미분에 의해 유지됨을 입증하여, 구조적 안정성을 확인하기 위해.

제안 방법

• 작은 A > 0를 사용하여 일반화된 찰플린 압력 법칙 $ P = -A/ ho^{ au} $을 통한 유량 근사 도입으로, 원래의 엄밀히 쌍곡선이 아닌 시스템을 엄밀히 쌍곡선 시스템으로 변환하기 위해.
• 새로운 변수 $ w = u + P $를 정의하여 유량 근사의 순수한 형태를 확보하고 보존 형태를 유지하기 위해 시스템을 재구성하기 위해.
• 초기 조건 (1.5)를 가진 근사 시스템 (1.2)에 대해 명시적 리만 해를 구성하고, 충격파, 접촉 불연속성, 델타 충격파의 구조를 식별하기 위해.
• A → 0일 때의 점근적 거동을 분석하여, 근사 해가 원래의 비압력 오일러 시스템(쿠론드-유사 마찰 포함)의 해로 수렴함을 보여주기 위해.
• 델타 충격파의 구조가 극한에서 일반화된 랭킨-후고니오테 조건과 엔트로피 조건을 충족함을 검증하여 물리적 타당성을 확인하기 위해.
• 예를 들어 (6.1)과 같은 다른 유량 근사와의 비교를 통해, 해의 안정성 유지를 위해 템플 클래스의 구조를 유지하는 것이 중요함을 강조하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비압력 오일러 방정식에 쿠론드-유사 마찰이 있는 비동차 시스템의 리만 해가 일반화된 찰플린 압력에 의한 유량 근사에 의해 안정적인가?
• RQ2 작은 편미분 매개변수 A의 도입이 근사 시스템의 쌍곡성과 해의 구조에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 A → 0일 때 근사 리만 해가 원래 시스템의 해(델타 충격파와 진공 상태 포함)로 수렴하는가?
• RQ4 일반화된 찰플린 압력은 편미분 하에서 리만 해의 구조적 특성을 유지하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 유량 근사는 마찰 존재 하에서 델타 충격파의 물리적 의미를 어떻게 유지하는가?

주요 결과

• 근사 시스템 (1.2)는 진정으로 비선형적이며 한 개의 선형으로 탈퇴하는 특성장을 포함하여 엄밀히 쌍곡선이며, 리만 해를 명시적으로 구성할 수 있다.
• u_+ < u_- 인 경우, A > A_0일 때 근사 시스템 (1.2)의 리만 해는 충격파와 접촉 불연속성을 포함하고, A → A_0^+일 때 델타 충격파로 전이된다.
• A → 0일 때 근사 시스템의 리만 해는 원래의 비압력 오일러 시스템(쿠론드-유사 마찰 포함)의 해로 수렴하며, 델타 충격파와 진공 상태를 포함한다.
• 극한에서의 델타 충격파 구조는 일반화된 랭킨-후고니오테 조건과 엔트로피 조건을 충족하여 물리적으로 타당함을 확인한다.
• 수렴은 시간과 공간에서 균일하며, 충격 속도 $ x(t) = u_+ t + rac{1}{2} eta t^2 $와 질량 $ w(t) $는 극한에서 유지된다.
• 이 결과는 이전의 동차 경우에 대한 안정성 결과를 비동차 경우의 소스 항이 있는 경우로 일반화하여, 리만 해의 해 구조가 유량 편미분 하에서도 강건함을 확인한다.