[논문 리뷰] Stability of stochastic differential equations with respect to time-changed Brownian motions

Qiong Wu|arXiv (Cornell University)|2016. 02. 26.

Fractional Differential Equations Solutions참고 문헌 10인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 일반화된 라플라스 방법과 이중성 이론을 사용하여 시간에 따라 변화하는 브라운 운동에 의해 구동되는 확률미분방정식(SDEs)의 안정성 기준을 수립한다. 이는 국소적, 점근적, 전역 점근적 안정성의 조건을 드리프트, 확산 및 시간 변화에 대해 증명하며, 주요 결과로는 시간에 따라 변화하는 SDE의 안정성과 그 비시간 변화 대응체 간의 이중성에 의한 연결을 제시한다.

ABSTRACT

In this paper, the stability behaviors of stochastic differential equations (SDEs) driven by time-changed Brownian motions are discussed. Based on the generalized Lyapunov method and stochastic analysis, necessary conditions are provided for solutions of time-changed SDEs to be stable in differential senses, such as stochastic stability, stochastically asymptotic stability and globally stochastically asymptotic stability. Also, a connection between the stability of the solution to the time-changed SDEs and that to their corresponding non-time-changed SDEs is revealed by applying the duality theorem. Finally, two examples are provided to illustrate the theoretical results.

연구 동기 및 목표

• 시간에 따라 변화하는 브라운 운동에 의해 구동되는 확률미분방정정식(SDEs)의 해의 안정성을 분석하는 것.
• 비마코프성 시간 변화를 유도하는 역 하위순서자에 의해 유도되는 시간에 따라 변화하는 SDEs에 대해 고전적 라플라스 안정성 이론을 확장하는 것.
• 이중성 정리를 사용하여 시간에 따라 변화하는 SDEs의 안정성과 그에 대응하는 비시간 변화 SDEs 간의 관계를 수립하는 것.
• 시간에 따라 변화하는 설정에서 확률적 안정성, 확률적 점근적 안정성, 그리고 전역적으로 확률적 점근적 안정성을 위한 충분조건을 제공하는 것.
• 시간에 따라 변화하는 역학과 라플라스 함수를 포함하는 두 가지 구체적 예시를 통해 이론적 결과를 설명하는 것.

제안 방법

• 시간에 따라 변화하는 이토의 공식을 적용하여 $ B_{E_t} $에 의해 구동되는 SDEs의 무한소 생성자(Infinitesimal generator)를 유도한다. 여기서 $ E_t $는 $ \beta $-스테이블 하위순서자의 역이다.
• 고전적 SDEs에서의 라플라스 함수 방법을 시간에 따라 변화하는 SDEs로 일반화하기 위해 $ \alpha \in (0,1) $을 사용하여 라플라스 함수 $ V(t_1, t_2, x) = |x|^\alpha $를 정의한다.
• 이중성 정리를 사용하여 시간에 따라 변화하는 SDEs의 안정성과 표준 SDEs의 안정성 간의 관계를 설정함으로써, 알려진 안정성 결과의 이행을 가능하게 한다.
• 시간에 따라 변화하는 SDEs의 무한소 생성자 $ L_1V $ 및 $ L_2V $를 정의하여 라플라스 함수의 진화에서 드리프트 및 확산 항의 부호를 분석한다.
• 시간에 따라 변화하는 변수 교체 공식 $ \int_0^t \phi(E_s) dE_s = \int_0^{E_t} \phi(s) ds $을 적용하여 시간에 따라 변화하는 적분 조건을 표준 형태로 변환한다.
• 특정 조건들에 따라 $ \rho_1, f_1, g_1 $에 대해 $ L_2V $가 원점 근처에서 음의 정부호임을 보여줌으로써 안정성을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 시간에 따라 변화하는 브라운 운동 $ B_{E_t} $에 의해 구동되는 시간에 따라 변화하는 SDE의 자명한 해는 어떤 조건에서 확률적으로 안정한가?
• RQ2 시간에 따라 변화하는 SDE의 해는 언제 확률적으로 점근적으로 안정한가? 전역 점근적 안정성을 보장하는 조건은 무엇인가?
• RQ3 시간에 따라 변화하는 SDE의 안정성은 그에 대응하는 비시간 변화 SDE의 안정성과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ4 이중성 정리는 표준 SDEs에서의 안정성 결과를 시간에 따라 변화하는 SDEs로 이행하는 데 사용될 수 있는가?
• RQ5 역 $ \beta $-스테이블 하위순서자는 표준 브라운 운동과 비교할 때 SDEs의 안정성 행동을 어떻게 변화시키는가?

주요 결과

• 시간에 따라 변화하는 SDE $ dX(t) = -\rho_1(t,E_t)X(t)dt + f_1(t,E_t)X(t)dE_t + g_1(t,E_t)X(t)dB_{E_t} $의 자명한 해는 거의 확실히 $ \rho_1(t,E_t) \geq 0 $ 및 $ \frac{1}{2}(1-\alpha)g^2(t,E_t) - f_1(t,E_t) \geq 0 $ 일 때 확률적으로 안정하다.
• 적어도 하나의 안정성 조건이 엄격하게 성립할 경우, 자명한 해는 전역적으로 확률적으로 점근적으로 안정하다.
• 이중성 정리는 시간에 따라 변화하는 SDEs의 안정성과 그 비시간 변화 대응체 간의 직접적인 연결을 수립하며, 안정성 결과의 이행을 가능하게 한다.
• 비시간 변화 SDE $ dY(t) = f(t,X(t))dt + g(t,X(t))dB_t $에 대해서는 조건 (42) 및 (43)을 만족할 경우 확률적 점근적 안정성이 성립하며, 이는 시간에 따라 변화하는 라플라스 함수를 통해 시간에 따라 변화하는 형태로 확장된다.
• 시간에 따라 변화하는 라플라스 함수 $ V(E_t, x) = |x|^\alpha \exp\left(-\alpha \int_0^{E_t} (a(s) - \frac{1}{2}b^2(s) + \theta) ds \right) $는 조건 (44) 하에서 생성자 $ L_2V $의 음의 정부호성을 보장하며, 이는 점근적 안정성을 확인한다.
• 조건 $ 0 < \alpha < \frac{\theta}{\sup_{t \geq 0} b^2(t)} $는 $ L_2V $가 음의 정부호임을 보장하며, 이는 시간에 따라 변화하는 설정에서 점근적 안정성을 증명하는 데 핵심적인 역할을 한다.