[논문 리뷰] Stability of the determination of a coefficient for the wave equation in an infinite wave guide

Yavar Kian|arXiv (Cornell University)|2013. 05. 21.

Numerical methods in inverse problems참고 문헌 21인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 무한한 파동 가로수 $ \Omega = \omega \times \mathbb{R} $ 에서 파동 방정식의 전기 포텐셜 $ q $ 를 복원하는 역문제에 대해 딜리클-투-노이만(DN) 매핑으로부터 허더 안정성 추정을 수립한다. 전체 경계 측정치에 대해 안정성을 증명하고, 잠재력 간격의 최대값이 컴act 영역 내에 있을 조건 하에 유한한 측정 영역으로의 결과 확장을 다룬다.

ABSTRACT

We consider the stability in the inverse problem consisting in the determination of an electric potential $q$, appearing in a Dirichlet initial-boundary value problem for the wave equation $\partial_t^2u-Δu+q(x)u=0$ in an unbounded wave guide $Ω=ω imes\mathbb R$ with $ω$ a bounded smooth domain of $\mathbb R^2$, from boundary observations. The observation is given by the Dirichlet to Neumann map associated to a wave equation. We prove a Hölder stability estimate in the determination of $q$ from the Dirichlet to Neumann map. Moreover, provided that the gap between two electric potentials rich its maximum in a fixed bounded subset of $\barΩ$, we extend this result to the same inverse problem with measurements on a bounded subset of the lateral boundary $(0,T) imes\partialΩ$.

연구 동기 및 목표

• 무한한 파동 가로수에서 파동 방정식의 전기 포텐셜 $ q $ 를 복원하는 역문제에 대한 안정성 추정을 수립하는 것.
• 무한한 측면 경계 $ \Sigma $ 에서 전체 딜리클-투-노이만(DN) 매핑을 통한 $ q $ 재구성의 안정성 분석.
• 잠재력 간격의 컴팩트성 조건 하에 측정치가 측면 경계의 유한 부분에 국한된 경우 안정성 결과를 확장하는 것.
• DN 매핑의 차이를 바탕으로 재구성 오차의 양적 허더 유형 추정을 제공하는 것.

제안 방법

• 시간, 접선 및 종방향 도함수를 포함한 가중 함수 공간 $ L $ 에 정의된 딜리클-투-노이만 매핑 $ \Lambda_q $ 를 사용한다.
• 카르멘 추정과 에너지 방법을 적용하여 임계도 $ q \in \mathcal{C}_b^\alpha(\overline{\Omega}) $ 를 가진 파동 방정식에 대한 안정성 추정을 유도한다.
• 포텐셜에 대해 허더 연속성 조건을 도입하며, $ \|q\|_{L^\infty} \leq M $ 이고, 노름은 $ \|q\|_{\mathcal{C}_b^\alpha} = \|q\|_{L^\infty} + [q]_\alpha $ 로 정의된다.
• 유한한 측정을 다루기 위해 $ (0,T) \times \partial\omega \times (-R,R) $ 에서 정의된 국소화된 DN 매핑 $ \Lambda_q^R $ 을 도입한다.
• 절단 함수와 가중 에너지 추정을 이용하여 컴팩트 집합 외부에서의 해의 행동을 제어한다.
• 보간과 컴팩트성 가정을 통해 로그 유형 추정을 허더 연속성으로 변환함으로써 안정성을 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 무한한 파동 가로수에서 파동 방정식의 포텐셜 $ q $ 를 복원하는 역문제에 대해 허더 안정성 추정을 수립할 수 있는가?
• RQ2 DN 매핑을 통한 전체 경계 측정치에 의해 $ q $ 재구성의 안정성은 어떻게 달라지는가?
• RQ3 측정치가 측면 경계의 유한 부분에 국한될 경우 어떤 조건에서 안정성이 유지되는가?
• RQ4 두 포텐셜 간 최대 간격의 위치는 국소 측정으로의 안정성 확장을 어떻게 영향을 주는가?
• RQ5 안정성 지수는 포텐셜의 허더 연속성과 측정 오차의 관계로 양적으로 기술할 수 있는가?

주요 결과

• 허더 안정성 추정이 수립됨: $ \|q_1 - q_2\|_{L^\infty(\Omega)} \leq C \|\Lambda_{q_1} - \Lambda_{q_2}\|^{\frac{\min(2\alpha,1)\alpha}{3(2\alpha+2)(\min(4\alpha,2)+21)}}} $, 여기서 $ C $ 는 $ M, T, \Omega $ 에 의존한다.
• 안정성 지수는 포텐셜의 허더 연속성 $ \alpha $ 에 따라 달라지며, $ 0 < \alpha < 1 $ 일 때 엄밀히 양수이다.
• 측정치가 $ (0,T) \times \partial\omega \times (-R,R) $ 에 국한된 경우, $ \|q_1 - q_2\|_{L^\infty} $ 의 최대값이 $ \omega \times (-r,r) $ 에서 $ r < R $ 인 유한 영역에서 달성될 경우 안정성이 유지된다.
• 포텐셜 차이의 본질적 Supremum 이 $ \overline{\Omega} $ 의 컴팩트 부분집합에서 달성된다고 가정할 경우 결과는 유한 측정 집합으로 확장된다.
• 증명은 가중 에너지 추정과 절단 함수를 이용하여 문제를 국소화하고 무한대에서의 행동을 제어하는 데 의존한다.
• 포텐셜이 무한대에서 감쇠 조건 없이 유계이자 허더 연속일 경우에도 안정성 추정이 그대로 유지된다.