[논문 리뷰] Stability theory for difference approximations of some dispersive shallow water equations and application to thin film flows

Pascal Noble, Jean‐Paul Vila|arXiv (Cornell University)|2013. 04. 13.

Navier-Stokes equation solutions참고 문헌 14인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 캐필라리 유체 및 박막 유동을 모델링하는 등온 에일러-코르티우프 방정식의 분산 확장인 에일러-코르티우프 방정식을 위한 안정적이고 엔트로피 보존 및 엔트로피 안정적인 유한차분 스킴을 개발하고 분석한다. 시스템을 해밀토니안 PDE로 재구성하고 밀도 기울기의 확장된 변수를 도입함으로써, 저자들은 해밀토니안 구조를 유지하고 코루앙트-프리드리히스-레비(CFL) 조건 하에서 엔트로피 안정성을 달성하는 반연속 스킴을 유도한다. 이는 안정적이고 정확한 시뮬레이션을 통해 롤웨이브 실험에서 물리적 관측과 양호한 일치를 보이며 수치적으로 검증된다.

ABSTRACT

In this paper, we study the stability of various difference approximations of the Euler-Korteweg equations. This system of evolution PDEs is a classical isentropic Euler system perturbed by a dispersive (third order) term. The Euler equations are discretized with a classical scheme (e.g. Roe, Rusanov or Lax-Friedrichs scheme) whereas the dispersive term is discretized with centered finite differences. We first prove that a certain amount of numerical viscosity is needed for a difference scheme to be stable in the Von Neumann sense. Then we consider the entropy stability of difference approximations. For that purpose, we introduce an additional unknown, the gradient of a function of the density. The Euler-Korteweg system is transformed into a hyperbolic system perturbed by a second order skew symmetric term. We prove entropy stability of Lax-Friedrichs type schemes under a suitable Courant-Friedrichs-Levy condition. We validate our approach numerically on a simple case and then carry out numerical simulations of a shallow water system with surface tension which models thin films down an incline. In addition, we propose a spatial discretization of the Euler-Korteweg system seen as a Hamiltonian system of evolution PDEs. This spatial discretization preserves the Hamiltonian structure and thus is naturally entropy conservative. This scheme makes possible the numerical simulation of the dispersive shock waves of the Euler Korteweg system.

연구 동기 및 목표

• 에일러-코르티우프 시스템, 즉 등온 에일러 방정식의 분산 편항에 대한 안정적이고 엔트로피 안정적인 유한차분 근사법을 개발하기 위해.
• 에일러-코르티우프 시스템에 대한 차분 스킴에서 본드-뉴먼 안정성을 확보하기 위해 필요한 수치적 점성의 필요성을 분석하기 위해.
• 밀도 기울기의 확장된 변수를 도입한 해밀토니안 PDE로 재구성함으로써 반연속 엔트로피 보존 스킴을 구성하기 위해.
• 특히 리우와 고울루브의 실험에서 관찰된 롤웨이브 형성과 유사하게 시뮬레이션할 수 있는 얕은 수면 모델을 활용해 제안된 스킴을 수치적으로 검증하기 위해.
• 유한 영역에서의 경계 조건 문제와 2차원 확장, 기타 혼합 타입의 쌍곡-분산 시스템으로의 확장에 있어 열려 있는 과제를 규명하기 위해.

제안 방법

• 에일러-코르티우프 시스템의 대류 항은 기존의 스킴(Roe, Rusanov, Lax-Friedrichs)을 사용하여 이산화하고, 제3차 분산 항에는 중심 유한차분을 적용한다.
• 밀도 함수의 기울기를 나타내는 보조 변수를 도입하여 시스템을 제2차 비대칭 편항을 갖는 쌍곡 시스템으로 변환한다.
• 확장된 형태의 에일러-코르티우프 시스템에 대해 Lax-Friedrichs 유형의 스킴이 적절한 코루앙트-프리드리히스-레비(CFL) 조건 하에서 엔트로피 안정성을 확보함을 증명한다.
• 에일러-코르티우프 시스템의 해밀토니안 구조를 유지하는 반연속 공간 이산화를 구성함으로써 엔트로피 보존을 보장한다.
• 백워드 오일러 시간 적분을 사용하여 엔트로피 안정성을 유지하지만, 해밀토니안 구조는 유지하지는 않는다.
• 출구에서 자유 경계 조건과 입구에서 삼각함수형 강제 조건을 적용하여 리우와 고울루브 실험의 롤웨이브 역학을 재현하는 수치 시뮬레이션을 구현한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 에일러-코르티우프 시스템의 차분 근사에서 본드-뉴먼 안정성을 확보하기 위해 필요한 수치적 점성의 양은 얼마인가?
• RQ2 밀도 기울기의 확장된 변수를 포함한 쌍곡 재구성 방식을 통해 에일러-코르티우프 시스템에 대해 엔트로피 안정 스킴을 구성할 수 있는가?
• RQ3 에일러-코르티우프 시스템에 대해 해밀토니안 보존 반연속 스킴은 분산 얕은 수면 유동에 대해 표준 이산화 방법과 비교해 안정성과 정확도에서 어떻게 다른가?
• RQ4 제안된 스킴은 리우와 고울루브 실험에서 관찰된 것과 유사하게 박막 유동에서 롤웨이브 형성을 정확하게 시뮬레이션할 수 있는가?
• RQ5 유한 구간에서의 에일러-코르티우프 시스템에 대해 잘 정의된 경계 조건을 설정하는 데 있어 어떤 과제가 존재하는가?

주요 결과

• 심지어 제3차 분산 항에 중심 유한차분을 적용하더라도, 에일러-코르티우프 시스템의 차분 근사에서 본드-뉴먼 안정성을 확보하기 위해 일정량의 수치적 점성이 필요하다.
• 에일러-코르티우프 시스템의 확장된 형태에 대해 Lax-Friedrichs 유형의 스킴이 적절한 코루앙트-프리드리히스-레비(CFL) 조건 하에서 엔트로피 안정성을 확보한다.
• Roe 및 고투노프 스킴은 명시적 프론트 오일러 시간 적분을 사용할 경우 불안정한 것으로 밝혀져, 스킴 선택의 중요성을 강조한다.
• 해밀토니안 보존 반연속 스킴은 뛰어난 안정성 특성을 보이며, 분산 충격파와 같은 순수한 분산 현상의 시뮬레이션에 특히 적합하다.
• 리우와 고울루브 실험의 경우 레이놀즈 수 Re = 29 및 기울기 θ = 6.4° 조건에서의 수치 시뮬레이션 결과는 실험 관측과 양호한 일치를 보이며, 안정적인 롤웨이브 프로파일 형성이 관찰된다.
• 경계 조건의 선택은 여전히 열려 있는 문제이며, 저자들은 에일러-코르티우프 시스템이 유한 영역에서 잘 정의된 이론이 부족하여 임의의 조건을 사용하였다.