[논문 리뷰] Stabilization Control for Linear Continuous-time Mean-field Systems

Qingyuan Qi, Huanshui Zhang|arXiv (Cornell University)|2016. 08. 23.

Advanced Control Systems Optimization참고 문헌 17인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 선형 연속시간 평균장 시스템의 평균제곱 안정화를 위한 必要하고 충분한 조건을 짝지어진 대수 Riccati 방정식(coupled algebraic Riccati equation, ARE)을 통해 수립한다. 최대원리와 정방향-역방향 확률미분방정식(forward-backward stochastic differential equation, FBSDE)을 활용하여 최적 제어의 가역성 조건을 유도하고, 안정화가 발생하는 조건은 짝지어진 ARE가 고유한 양반정부호(또는 정확한 관측 가능성 하에 양정부호) 해를 갖는 것과 동치임을 보여, 고전적인 LQ 제어 이론을 가중치 행렬에 대한 더 약한 가정 하에 평균장 설정으로 확장한다.

ABSTRACT

This paper investigates the stabilization and control problems for linear continuous-time mean-field systems (MFS). Under standard assumptions, necessary and sufficient conditions to stabilize the mean-field systems in the mean square sense are explored for the first time. It is shown that, under the assumption of exact detectability (exact observability), the mean-field system is stabilizable if and only if a coupled algebraic Riccati equation (ARE) admits a unique positive semi-definite solution (positive definite solution), which coincides with the classical stabilization results for standard deterministic systems and stochastic systems. One of the key techniques in the paper is the obtained solution to the forward and backward stochastic differential equation (FBSDE) associated with the maximum principle for an optimal control problem. Actually, with the analytical FBSDE solution, a necessary and sufficient solvability condition of the optimal control, under mild conditions, is derived. Accordingly, the stabilization condition is presented by defining an Lyaponuv functional via the solution to the FBSDE and the optimal cost function. It is worth of pointing out that the presented results are different from the previous works for stabilization and also different from the works on optimal control.

연구 동기 및 목표

• 최적 제어에 비해 다소 간과된 평균장 시스템에 대한 체계적 안정화 이론의 부족을 다루기 위해.
• 기본적인 가정 하에 선형 연속시간 평균장 시스템의 평균제곱 안정화를 위한 必要하고 충분한 조건을 수립하기 위해.
• 시스템 동역학이 상태와 그 기대값에 의존하는 평균장 맥락으로 고전적인 Riccati 기반 안정화 결과를 확장하기 위해.
• FBSDE 해와 리아푸노프 함수를 통한 통합 프레임워크를 제공하여 최적 제어의 가역성과 안정화를 연결하기 위해.
• 비용 함수의 가중치 행렬에 대해 양정부호 조건을 양반정부호로 완화하기 위해.

제안 방법

• 최적 제어 법칙을 유도하기 위해 최대원리를 적용하여, 관련된 정방향-역방향 확률미분방정식(FBSDE)의 해로부터 유도된 짝지어진 Riccati 방정식을 도출한다.
• 유한시간 영역 Riccati 방정식의 수렴 분석을 통해 안정화를 위한 무한시간 영역 짝지어진 대수 Riccati 방정식(Algebraic Riccati Equation, ARE)을 유도한다.
• 최적 비용 함수와 FBSDE 해를 바탕으로 한 리아푸노프 함수를 정의하여 평균제곱 안정성을 분석한다.
• 안정화와 짝지어진 ARE의 고유한 양반정부호(또는 정확한 관측 가능성 하에 양정부호) 해의 존재성 간의 동치성을 수립한다.
• 시스템 안정성과 ARE의 가역성 간의 연결을 위해 정확한 감지 가능성(exact detectability)과 정확한 관측 가능성(exact observability) 개념을 활용한다.
• 무한 시간 동안 제어 에너지의 적분 가능성을 보여주어 최적 제어기가 적합 제어 공간에 속함을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 선형 연속시간 평균장 시스템이 평균제곱 안정화 가능하기 위한 조건은 무엇인가?
• RQ2 무한시간 평균장 시스템의 최적 제어 문제는 짝지어진 대수 Riccati 방정식을 통해 해를 구할 수 있는가?
• RQ3 짝지어진 ARE의 가역성은 평균장 시스템의 안정화와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ4 정확한 감지 가능성과 정확한 관측 가능성은 ARE 해를 통한 안정화를 보장하기 위해 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 비용 함수의 가중치 행렬을 양정부호에서 양반정부호로 완화할 수 있는가, 이 경우에도 안정성과 최적성은 유지되는가?

주요 결과

• 정확한 감지 가능성 가정 하에 평균장 시스템은 짝지어진 대수 Riccati 방정식(coupled ARE)이 고유한 양반정부호 해를 갖는 것과 동치로 평균제곱 안정화 가능하다.
• 정확한 관측 가능성 하에 시스템은 짝지어진 ARE가 고유한 양정부호 해를 갖는 것과 동치로 안정화 가능하다.
• 제안된 제어기는 ARE 해로부터 유도되며, 이로 인해 상태와 제어 입력이 무한 시간 동안 제곱적분 가능해지며, 즉 제어기는 적합한 공간 U[0, ∞)에 속하게 된다.
• 최적 비용 함수와 FBSDE 해를 바탕으로 한 리아푸노프 함수를 구성하여, 종속된 폐루프 시스템의 평균제곱 안정성을 검증한다.
• 결과적으로 고전적인 LQ 제어 이론을 평균장 시스템으로 일반화하였으며, 이는 안정화 및 가역성 조건을 포함한다.
• 기존의 가중치 행렬 R과 R + R̄가 양정부호여야 한다는 표준 가정을 완화하여, 이를 양반정부호로 허용함으로써 이론의 적용 범위를 넓혔다.