[논문 리뷰] Stabilization of Branching Queueing Networks

Tomǎš Brázdil, Stefan Kiefer|arXiv (Cornell University)|2011. 12. 05.

Advanced Queuing Theory Analysis참고 문헌 4인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 분기(다중 작업 생성)와 제어(비결정적 동작 선택)를 추가하여 잭슨 네트워크를 확장한 제어 분기 대기열 네트워크를 소개한다. 복잡한 병렬 시스템을 모델링하기 위한 것이다. 안정성(에르고딕성)이 다항시간 내에 결정 가능하다는 것을 증명하였고, 선형계획법을 통해 효율적으로 계산할 수 있는 정적 랜덤 스케줄러를 제안하여 모든 대기열 모멘트가 유한함을 보장함으로써 강한 안정성을 달성한다.

ABSTRACT

Queueing networks are gaining attraction for the performance analysis of parallel computer systems. A Jackson network is a set of interconnected servers, where the completion of a job at server i may result in the creation of a new job for server j. We propose to extend Jackson networks by "branching" and by "control" features. Both extensions are new and substantially expand the modelling power of Jackson networks. On the other hand, the extensions raise computational questions, particularly concerning the stability of the networks, i.e, the ergodicity of the underlying Markov chain. We show for our extended model that it is decidable in polynomial time if there exists a controller that achieves stability. Moreover, if such a controller exists, one can efficiently compute a static randomized controller which stabilizes the network in a very strong sense; in particular, all moments of the queue sizes are finite.

연구 동기 및 목표

• 병렬 및 분산 시스템의 더 풍부한 모델링을 위해 분기(다중 작업 생성)와 제어(비결정적 행동 선택)를 포함한 잭슨 네트워크를 확장한다.
• 컨트롤러가 네트워크를 안정화시켜 에르고딕성을 보장할 수 있는지 여부를 판단하는 계산적 과제를 다룬다.
• 모든 대기열 모멘트가 유한함을 보장하는 강한 안정성을 확보하는 효율적인 방법을 개발한다.
• 정적 랜덤 스케줄러가 최적의 안정성을 달성하는 데 충분하며, 최대 대기열 활용도를 최소화함을 보여준다.

제안 방법

• 분기와 제어를 처리할 수 있도록 일반화된 트래픽 선형계획법(LP)을 사용하여 유량 균형을 모델링하는, 확률적 전이와 비결정적 제어 행동을 갖는 연속시간 마르코프 결정과정(CTMDPs)으로서 제어 분기 대기열 네트워크를 도입한다.
• 분기와 제어를 다룰 수 있도록 잭슨 네트워크 트래픽 방정식을 일반화하고, 흐름 균형을 모델링하기 위한 트래픽 선형계획법(LP)을 제안한다.
• 유도된 스케줄러 하에서 에르고딕성이 성립함을 보이기 위해 리아푸노프 함수를 사용한 증명을 수행한다.
• 어느 타당한 LP 해로부터도 정적 랜덤 스케줄러를 구성하며, 행동 확률은 유량 비율에 비례하도록 한다.
• 이러한 스케줄러가 모든 대기열 모멘트가 유한함을 보장하고 최대 대기열 활용도를 최소화함을 증명한다.
• 문제를 선형계획법의 해법으로 환원하여 최적의 안정화 컨트롤러를 다항시간 내에 계산할 수 있도록 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 분기와 제어를 포함한 제어 분기 대기열 네트워크에서 안정성(에르고딕성)을 효율적으로 결정할 수 있는가?
• RQ2 이러한 네트워크를 안정화시키는 컨트롤러를 합성하는 데 있어 계산적으로 효율적인 방법이 존재하는가?
• RQ3 정적 랜덤 스케줄러는 모든 대기열 크기의 모멘트가 유한한 강한 안정성을 달성할 수 있는가?
• RQ4 최적의 스케줄러는 모든 가능한 컨트롤러 중에서 최대 대기열 활용도를 최소화하는가?

주요 결과

• 제어 분기 대기열 네트워크의 안정성은 다항시간 내에 결정 가능하다.
• 선형계획법을 사용하여 정적 랜덤 스케줄러를 다항시간 내에 계산할 수 있으며, 이는 강한 안정성을 달성한다.
• 계산된 스케줄러 하에서 모든 대기열 크기의 모멘트가 유한하며, 이는 강한 에르고딕성을 보장한다.
• 스케줄러는 모든 대기열에서 최대 대기열 활용도를 최소화한다.
• 다른 정적 랜덤 스케줄러보다 낮은 최대 활용도를 달성할 수 없으므로, 이 해법은 최적이다.
• 트래픽 LP 설정은 잭슨 네트워크 방정식을 일반화하며, 효율적인 컨트롤러 합성에 기여한다.