[논문 리뷰] Stabilization of perturbed integrator chains using Lyapunov-Based Homogeneous Controllers

Mohamed Harmouche, Salah Laghrouche외 1명|arXiv (Cornell University)|2013. 03. 21.

Numerical methods for differential equations참고 문헌 26인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 임의의 차수 r ≥ 1에 대해 외란이 있는 통합 사슬의 유한시간 안정화를 위한 리아푸노프 기반 동차 제어기를 제안한다. 동차도 정도를 조정함으로써 제어기는 고정된 시간 내 수렴을 달성하고 불연속 제어 진폭을 최소화하여 유한한 불확실성 하에서도 강인하고 빠른 안정화를 가능하게 한다.

ABSTRACT

In this paper, we present a Lyapunov-based homogeneous controller for the stabilization of a perturbed chain of integrators of arbitrary order $r\geq 1$. The proposed controller is based on homogeneous controller for stabilization of pure integrator chains. The advantages to control the homogeneity degree of the controller are also discussed. A bounded-controller with minimum amplitude of discontinuous control and a controller with fixed-time convergence are synthesized, using control of homogeneity degree, and their performances are shown in simulations. It is demonstrated that the homogeneous arbitrary HOSM controller \cite{Levant2001} is a particular case of our controller.

연구 동기 및 목표

• 임의의 차수 r ≥ 1에 대해 외란이 있는 통합 사슬의 유한시간 안정화 문제를 해결한다.
• 기존 제어기의 한계를 극복하기 위해 동차도 정도를 제어하여 성능를 조정할 수 있도록 도입한다.
• 초기 조건과 무관하게 고정된 시간 내 수렴을 달성하여 강인 제어의 핵심 요구사항을 충족시킨다.
• 균형 상태에서 불연속 제어의 진폭을 최소화하여 채터링을 감소시키고 강인성을 향상시킨다.
• 이전의 동차 제어기 및 슬라이딩 모드 제어기를 일반화하고 향상시킨 통합 프레임워크를 설계한다.

제안 방법

• 순수한 통합 사슬 제어기를 기반으로 한 리아푸노프 기반 동차 제어기를 구성한다.
• 시스템 수렴 특성을 제어하는 동차도 정도 파라미터 κ를 도입한다.
• 유한시간 안정성을 증명하기 위해 동차도 정도 α = 1 + k₂/(2 + k₂)를 갖는 리아푸노프 함수 V를 사용한다.
• 시간 스케일링을 통해 τ > 1을 적용하여 수렴 속도를 가속화하고 정착 시간을 단축시킨다.
• 영역 근처에서 κ를 전환함으로써 유한한 제어기를 설계하여 불연속 제어 진폭을 최소화한다.
• κ = -1/r로 선택함으로써 고정된 시간 수렴을 보장하여 초기 조건과 무관하게 수렴 시간이 일정함을 확보한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 리아푸노프 기반 제어기에서 동차도 정도 조정이 외란이 있는 통합 사슬의 고정된 시간 안정화를 달성할 수 있는가?
• RQ2 유한시간 수렴을 유지하면서도 균형 상태에서 불연속 제어의 진폭을 어떻게 최소화할 수 있는가?
• RQ3 외란이 있는 통합 시스템에서 동차도 정도와 수렴 시간 간의 관계는 무엇인가?
• RQ4 단일 제어기 프레임워크로 임의의 차수 사슬에 대해 유한시간 및 고정된 시간 안정화를 통합할 수 있는가?
• RQ5 유한한 불확실성이 존재할 때 시간 스케일링은 수렴 속도와 제어 성능에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• κ = -1/r로 선택함으로써 고정된 시간 수렴이 달성되며, 수렴 시간이 초기 조건과 무관하게 유한하고 일정하다.
• α = 1 + k₂/(2 + k₂)일 때, 정착 시간은 T_f = (2 + k₂)B^(-k₂/(2 + k₂)) / (-k₂C)로 유한하며, 시스템 파라미터에 명시적인 의존성을 갖는다.
• κ ∈ (-1/r, 0)일 경우, 제어기는 최소한의 불연속 제어 진폭으로 유한시간 수렴을 보장한다.
• κ를 -1/r에서 (-1/r, 0) 내의 값으로 전환함으로써 채터링이 감소한 유한한 제어기를 구현하면서도 유한시간 수렴을 유지할 수 있다.
• τ > 1를 통해 시간 스케일링을 적용하면 정착 시간이 (T_u + T_f)/τ로 단축되어 안정성에 영향을 주지 않으면서 수렴 속도를 가속화한다.
• 시뮬레이션 결과, 외란이 있는 삼중 통합 사슬(r = 3)에서 모든 초기 조건에 대해 8.5초 이내에 수렴하며, |z₁|, |z₂|, |z₃| < 1×10⁻⁴를 확보한다.