[논문 리뷰] Stabilization of slow-fast systems at fold points

Hildeberto Jardón-Kojakhmetov, Jacquelien M.A. Scherpen외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 04. 19.

Control and Stability of Dynamical Systems참고 문헌 31인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 고전적 섭동 이론이 실패하는 비하이퍼볼릭 특이점인 접점에서 느린-빠른 시스템을 안정화하기 위한 새로운 제어기 설계를 제안한다. 기하학적 탈특이화를 사용하여 시스템을 변형함으로써 히퍼볼릭 행동을 도입하고, 느린 변수에만 제어 입력을 가함으로써 전역적 점근적 안정성을 달성한다. 전기 회로 모델을 통해 수치적 검증이 성공적으로 이루어졌다.

ABSTRACT

In this document, we deal with the stabilization problem of slow-fast systems (or singularly perturbed Ordinary Differential Equations) at a non-hyperbolic point. The class of systems studied here have the following properties: 1) they have one fast variable and an arbitrary number of slow variables, 2) they have a non-hyperbolic singularity of the fold type at the origin. The presence of the aforementioned singularity complicates the analysis and the controller design of such systems. In particular, the classical theory of singular perturbations cannot be used. We show a novel design process based on geometric desingularization, which allows the stabilization of a fold point of singularly perturbed control systems. Our results are exemplified on an electric circuit.

연구 동기 및 목표

• 고전적 섭동 이론이 붕괴하는 비하이퍼볼릭 접점에서 느린-빠른 제어 시스템의 안정화를 다루는 것.
• 이전의 기하학적 탈특이화 기법을 평면계에서 임의의 수의 느린 변수와 하나의 빠른 변수를 가진 시스템으로 확장하는 것.
• 빠른 변수를 직접 제어하지 않고도 접점에서 시스템을 안정화하는 제어기를 설계하여 실용성 향상.
• 실제 전기 회로 사례를 통해 방법의 효과성을 입증하고, 수치적 검증을 수행하는 것.

제안 방법

• 특이점을 확대하는 변환을 통해 접점에서의 비하이퍼볼릭 특이점을 제거하기 위해 기하학적 탈특이화를 적용한다.
• 원래 시스템을 변형하여 원점이 하이퍼볼릭 평형점이 되는 탈특이화된 형태로 변환한다.
• 탈특이화된 시스템에서 역추적 기법을 사용하여 전역적 점근적 안정성을 확보하는 제어기를 설계한다.
• 제어기가 느린 변수에만 작용하도록 보장하여 물리적 실현 가능성과 제어 복잡도를 감소시킨다.
• 제어기 설계를 위해 접점을 원점에 중심화하기 위해 좌표 변환을 도입한다.
• 시스템을 안정화하기 위해 작은 매개변수 ε의 분수거듭제곱, 예를 들어 ε⁻²ᐟ³ 및 ε⁻¹ᐟ³을 포함하는 명시적 제어 법칙을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고전적 섭동 이론이 실패하는 느린-빠른 시스템의 접점 유형 비하이퍼볼릭 특이점은 어떻게 안정화할 수 있는가?
• RQ2 다수의 느린 변수와 하나의 빠른 변수를 가진 시스템으로 기하학적 탈특이화를 확장하여 제어기 설계가 가능한가?
• RQ3 빠른 변수를 직접 제어하지 않고도 비하이퍼볼릭 접점을 느린 변수에만 제어 입력을 적용하여 안정화할 수 있는가?
• RQ4 이러한 시스템에서 전역적 점근적 안정성을 보장하는 제어 법칙의 구조는 어떠한가?
• RQ5 전기 회로와 같은 실세계 적용 사례에서 제어기는 어떻게 성능을 발휘하는가(예: 정지점이 존재하는 시스템)?

주요 결과

• 제안된 제어기는 탈특이화된 시스템의 원점에 위치한 접점을 안정화하며, 비하이퍼볼릭 특이성에도 불구하고 전역적 점근적 안정성을 달성한다.
• 빠른 변수를 직접 제어하지 않더라도 제어기가 느린 변수에만 입력을 가하는 것으로도 효과적으로 작용함을 입증하였다.
• 전기 회로 모델에 대한 시뮬레이션 결과는 제어기 작동 후 목표 접점으로의 빠른 수렴을 보여주며, 안정성과 강인성을 확인하였다.
• 제어 법칙은 ε의 분수거듭제곱, 예를 들어 ε⁻²ᐟ³ 및 ε⁻¹ᐟ³을 명시적으로 포함하고 있어 문제의 특이성과 부합한다.
• 이 방법은 임의의 수의 느린 변수를 가진 시스템을 성공적으로 다룰 수 있어 이전의 평면계 결과를 일반화한다.
• 이 방법은 정규 하이퍼볼리시티를 상실하는 시스템, 예를 들어 정지점이나 한계 순환을 포함하는 시스템의 안정화를 가능하게 하여 전기 및 생물학적 시스템에서 흔히 나타나는 문제를 효과적으로 다룬다.