[논문 리뷰] Stabilized reduced basis methods for parametrized steady Stokes and Navier-Stokes equations

Shafqat Ali, Francesco Ballarin외 1명|arXiv (Cornell University)|2020. 01. 03.

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics참고 문헌 51인용 수 47

한 줄 요약

이 논문은 매개변수화된 정 steady Stokes 및 Navier-Stokes 방정식에 적용된 감소 기저(RB) 방법에 대해 잔차 기반 안정화 기법—특히 Brezzi-Pitkaranta, Franca-Hughes, SUPG 및 GLS—을 제안한다. 감소 기저의 오프라인-온라인 계산 프레임워크에 안정화를 통합함으로써, 초과제어자(supremizers)를 통한 속도 공간 확장 없이도 안정적인 inf-sup 조건을 확보할 수 있으며, 이로 인해 더 작은 감소 공간과 향상된 온라인 효율성을 확보하면서도 초과제어자 기반 접근법과 비교해 유사한 정확도를 유지한다.

ABSTRACT

It is well known in the Reduced Basis approximation of saddle point problems that the Galerkin projection on the reduced space does not guarantee the inf-sup approximation stability even if a stable high fidelity method was used to generate snapshots. For problems in computational fluid dynamics, the lack of inf-sup stability is reflected by the inability to accurately approximate the pressure field. In this context, inf-sup stability is usually recovered through the enrichment of the velocity space with suitable supremizer functions. The main goal of this work is to propose an alternative approach, which relies on the residual based stabilization techniques customarily employed in the Finite Element literature, such as Brezzi-Pitkaranta, Franca-Hughes, streamline upwind Petrov-Galerkin, Galerkin Least Square. In the spirit of extit{offline-online} reduced basis computational splitting, two such options are proposed, namely extit{offline-only stabilization} and extit{offline-online stabilization}. These approaches are then compared to (and combined with) the state of the art supremizer enrichment approach. Numerical results are discussed, highlighting that the proposed methodology allows to obtain smaller reduced basis spaces (i.e., neglecting supremizer enrichment) for which a modified inf-sup stability is still preserved at the reduced order level.

연구 동기 및 목표

• 유체역학의 안정성 문제에서 발생하는 inf-sup 불안정성 문제를 지속적으로 해결한다.
• 기존 RB 방법의 한계를 극복한다. 즉, 안정적인 고정밀도 형식이 감소 순서 해법에서도 안정성을 보장하지 못하는 문제를 해결한다.
• 일반적으로 사용되는 속도 공간 안정화 기법인 초과제어자 확장을 대체할 수 있는 방법을 개발한다. 이는 온라인 계산 비용 증가를 방지한다.
• 전통적인 잔차 기반 안정화 기법(SUPG, GLS 등)을 매개변수화된 문제에 대한 오프라인-온라인 RB 프레임워크에 통합한다.
• 최신 초과제어자 확장 기법과의 비교를 통해 정확도와 계산 효율성 간의 상호 교환 관계를 평가한다.

제안 방법

• Brezzi-Pitkaranta, Franca-Hughes, SUPG, GLS와 같은 고전적인 잔차 기반 안정화 기법을 매개변수화된 Stokes 및 Navier-Stokes 문제에 대한 감소 기저 프레임워크에 적응한다.
• 두 가지 안정화 전략을 도입한다: 오프라인 전용 안정화(스냅샷 생성 기간 동안만 안정화)와 오프라인-온라인 안정화(오프라인 및 온라인 단계 모두에서 안정화)이다.
• 매개변수화된 영역에 대해 변환 텐서를 사용하여 안정화된 약한 형태를 구성함으로써 매개변수 변화에 걸쳐 일관성을 확보한다.
• 감소된 기저 공간에 대한 갈레르킨 프로젝션을 사용하여 안정화된 RB 방법을 구현하며, 안정화 항은 변분 형태에 통합된다.
• 매개변수에 의존하지 않는 오프라인 어셈블리 가능성을 보장하기 위해 기준 영역 접근법을 사용하여 매개변수화된 기하 구조를 고정된 구성으로 매핑한다.
• 모델 문제(예: 캐비티 플로우)에 대해 물리적 매개변수(레일놀즈 수)와 기하적 매개변수(영역 길이)를 모두 포함하여 성능과 안정성을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 잔차 기반 안정화 기법을 감소 기저 방법에 효과적으로 적용하여 속도 공간 확장 없이도 inf-sup 안정성을 확보할 수 있는가?
• RQ2 정확도와 안정성 측면에서 오프라인 전용 안정화와 오프라인-온라인 안정화 간의 성능 비교는 어떠한가?
• RQ3 초과제어자 확장을 사용할 경우에 비해 잔차 기반 안정화가 감소 기저 공간의 필요 차원을 얼마나 줄일 수 있는가?
• RQ4 안정화된 RB 방법과 초과제어자 확장 RB 방법 간의 정확도와 온라인 계산 비용 간의 상호 교환 관계는 어떠한가?
• RQ5 안정화된 RB 방법은 초과제어자 기반 방법과 유사한 정확도를 확보하면서도 온라인 계산 시간을 크게 단축시킬 수 있는가?

주요 결과

• 오프라인-온라인 안정화 전략은 모든 수치 예제에서 속도 및 압력에 대해 오차가 10−4 이하인 안정적이고 정확한 해를 달성한다.
• 오프라인 전용 안정화 접근법은 오프라인 및 온라인 단계 간의 일관성 부족으로 인해 상당히 큰 오차를 유발하며, 특히 압력 근사에 영향을 미친다.
• 초과제어자 확장을 생략한 안정화된 RB 방법은 초과제어자 기반 방법과 유사한 정확도를 확보하며, 압력 오차는 최대 한 계단 감소된다.
• 초과제어자 확장을 생략함으로써 온라인 계산 시간이 최대 50% 감소한다. P1/P1의 경우 195초에서 87초로, P2/P2의 경우 242초에서 180초로 감소한다.
• 초과제어자를 포함하지 않은 오프라인-온라인 안정화 방법은 초과제어자 확장 버전보다 더 빠른 온라인 성능을 확보하면서도 실용적 응용에 충분한 정확도를 유지한다.
• 잔차 기반 안정화와 초과제어자 확장을 조합하면 특히 압력에 대해 가장 높은 정확도를 확보할 수 있으나, 온라인 복잡도가 증가한다. 성능을 우선시할 경우 안정화 전용 전략이 더 유리하다.