[논문 리뷰] Stabilizer Circuits, Quadratic Forms, and Computing Matrix Rank

Chaowen Guan, Kenneth W. Regan|arXiv (Cornell University)|2019. 03. 29.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 35인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 $s$가 회로 크기이고 $\omega$가 행렬 곱셈 지수일 때, $n$- 큐비트 스태빌라이저 회로의 강력한 시뮬레이션을 위한 $O(s + n^\omega)$-시간 알고리즘을 제시한다. 행렬의 $ \mathbb{F}_2$에서의 질량을 계산하는 것과 $p = |\langle 0^n|C|0^n \rangle|^2$의 확률을 계산하는 것 사이의 선형 시간 등가성을 확립하며, 이는 이전의 $O(n^3)$ bound를 향상시키고 양자 스태빌라이저 회로를 $ \mathbb{Z}_4$ 위의 고전적 이차형식과 연결한다. 주요 결과는 양자 시뮬레이션과 행렬 질량 사이의 거의 날것 같은 연결고리이며, 이는 스태빌라이저 회로의 효율적 고전적 시뮬레이션과 $ \mathbb{F}_2$ 위의 이차형식의 해 수 계산에 대한 영향을 미친다.

ABSTRACT

We show that a form of strong simulation for $n$-qubit quantum stabilizer circuits $C$ is computable in $O(s + n^ω)$ time, where $ω$ is the exponent of matrix multiplication. Solution counting for quadratic forms over $\mathbb{F}_2$ is also placed into $O(n^ω)$ time. This improves previous $O(n^3)$ bounds. Our methods in fact show an $O(n^2)$-time reduction from matrix rank over $\mathbb{F}_2$ to computing $p = |\langle \; 0^n \;|\; C \;|\; 0^n \; angle|^2$ (hence also to solution counting) and a converse reduction that is $O(s + n^2)$ except for matrix multiplications used to decide whether $p > 0$. The current best-known worst-case time for matrix rank is $O(n^ω)$ over $\mathbb{F}_2$, indeed over any field, while $ω$ is currently upper-bounded by $2.3728\dots$ Our methods draw on properties of classical quadratic forms over $\mathbb{Z}_4$. We study possible distributions of Feynman paths in the circuits and prove that the differences in $+1$ vs. $-1$ counts and $+i$ vs. $-i$ counts are always $0$ or a power of $2$. Further properties of quantum graph states and connections to graph theory are discussed.

연구 동기 및 목표

• 스태빌라이저 회로의 강력한 시뮬레이션에 대한 점근적 런타임을 이전의 $O(n^3)$ bound를 초월하여 향상시키기.
• 스태빌라이저 회로에서 행렬의 $ \mathbb{F}_2$에서의 질량을 계산하는 것과 확률 진폭 $|\langle 0^n|C|0^n \rangle|^2$를 계산하는 것 사이의 날것 같은 계산적 등가성을 확립하기.
• $\mathbb{F}_2$ 위의 이차형식의 해 수 계산을 $O(n^\omega)$ 시간으로 확장하여 [EK90]에서의 $O(n^3)$ bound를 향상시키기.
• 양자 스태빌라이저 회로, 그래프 상태, 고전적 이차형식 간의 관계를 형식화하여 효율적인 감소를 가능하게 하기.

제안 방법

• 입력 행렬에서 유도된 대칭 블록 행렬을 기반으로 한 양자 그래프 상태 구축을 통해 $ \mathbb{F}_2$에서의 행렬 질량 계산을 $p = |\langle 0^n|C|0^n \rangle|^2$의 확률 계산으로 감소시키기.
• 임의의 $n$-큐비트 스태빌라이저 회로 $C$를 모든 양자 진폭과 성질을 유지하는 $ \mathbb{Z}_4$ 위의 고전적 이차형식 $q_C$로 변환하기.
• $\mathbb{F}_2$에서의 행렬에 대해 $ \mathbf{B} = \mathbf{P}\mathbf{L}\mathbf{D}\mathbf{L}^T\mathbf{P}^T$의 표준 분해를 적용하여 질량과 진폭 계산을 효율적으로 수행하기.
• $\mathbb{Z}_4$ 기반 행렬 연산을 사용하여 $ \mathbf{D}' = \mathbf{L}^{-1}\mathbf{P}^T\mathbf{A}\mathbf{P}(\mathbf{L}^{-1})^T$를 계산하고, 값이 2인 요소가 있는지 확인하여 진폭이 0인지 판단하기.
• 피너만 경로 적분에서 $+1$ 대비 $-1$과 $+i$ 대비 $-i$ 경로 수의 차이가 항상 0 또는 2의 거듭제곱임을 활용하여 진폭 평가를 효율적으로 수행하기.
• [AG04]의 정규형을 사용하여 해다드 게이트 수 $h$와 게이트 수 $s$를 유한하게 제한하여 런타임을 $O(s + h^\omega)$로 보장하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 스태빌라이저 회로의 강력한 시뮬레이션은 $O(s + n^\omega)$ 시간 내에 수행될 수 있는가? 이는 $O(n^3)$ bound를 초월한다.
• RQ2 스태빌라이저 회로에서 $h = \Theta(n)$ 및 $s = O(n^2)$ 조건 하에, $ \mathbb{F}_2$에서의 행렬 질량 계산과 $p = |\langle 0^n|C|0^n \rangle|^2$의 계산이 선형 시간 등가인가?
• RQ3 양자 회로 감소를 통해 $ \mathbb{F}_2$ 위의 이차형식의 해 수 계산을 $O(n^\omega)$ 시간으로 가속화할 수 있는가?
• RQ4 스태빌라이저 회로의 구조와 그에 따른 $ \mathbb{Z}_4$ 기반 단계 다항식은 진폭과 확률 계산에 대해 더 날것 같은 경계를 제공하는가?
• RQ5 두 스태빌라이저 회로의 등가성은 출력 확률 분포나 진폭 크기를 통해 테스트할 수 있는가?

주요 결과

• 크기가 $s$이고 해다드 게이트 수가 $h$인 $n$-큐비트 스태빌라이저 회로의 강력한 시뮬레이션은 $O(s + h^\omega)$ 시간 내에 수행되며, $ \omega < 2.3729$ 이다. 이는 이전의 $O(n^3)$ bound를 향상시킨다.
• 행렬의 $ \mathbb{F}_2$에서의 질량 계산은 $p > 0$라는 조건 하에 $p = |\langle 0^n|C|0^n \rangle|^2$의 계산과 선형 시간 등가이며, 이 등가성은 이분 그래프로 제한된 경우에도 성립한다.
• $\mathbb{F}_2$ 위의 이차형식의 해 수 계산은 $O(n^\omega)$ 시간 내에 해결 가능하며, [EK90]의 $O(n^3)$ bound를 향상시킨다.
• 진폭 $\langle 0^n|C|0^n \rangle$는 $ \mathbb{Z}_4$로 변환된 행렬 $ \mathbf{D}'$에 2가 포함되어 있을 때에만 0이 된다. 이는 효율적으로 확인할 수 있다.
• 피너만 경로 적분에서 $+1$ 대비 $-1$과 $+i$ 대비 $-i$ 경로 수의 차이는 항상 0 또는 2의 거듭제곱이며, 이는 효율적인 진폭 평가를 가능하게 한다.
• 밀도가 높은 행렬에 대해서는 행렬 질량에서 $p$로의 감소가 선형 시간이며, 그 역방향 감소는 $p > 0$를 테스트하기 위해 필요한 행렬 곱셈을 제외하고 $O(s + n^2)$이다.