[논문 리뷰] Stable CMC integral varifolds of codimension $1$: regularity and compactness

Costante Bellettini, Neshan Wickramasekera|arXiv (Cornell University)|2018. 02. 01.

Geometric Analysis and Curvature Flows참고 문헌 17인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 체적 보존 변형에 대해 면적에 대해 정적이고 안정적인 1차 수축성 적분 변형에 대해 날카로운 정규성 및 콤팩트성 정리를 수립한다. 이러한 변형이 정규성 조건을 만족할 경우, 정규 부분의 두 가지 쉽게 확인할 수 있는 구조 조건 하에, 정규 부분을 제외한 폐쇄된 집합(여기서는 여부가 7 이상)에서의 고립된 특이점만을 가지며, 이는 $C^2$ 곡면으로서의 일정 평균 곡률을 가진다. 이는 유일한 특이점은 두 개의 $C^2$ 디스크가 탄성적으로 만나는 곳에서만 발생할 수 있음을 의미한다.

ABSTRACT

We give two structural conditions on a codimension $1$ integral $n$-varifold with first variation locally summable to an exponent $p>n$ that imply the following: whenever each orientable portion of the $C^{1}$-embedded part of the varifold (which is non-empty by the Allard regularity theory) is stationarity and the $C^{2}$-immersed part of it is stable with respect to the area functional for volume preserving deformations, its support, except possibly on a closed set of codimension $7$, is an immersed constant-mean-curvature (cmc) hypersurface of class $C^{2}$ that can fail to be embedded only at points where locally the support is the union of two $C^{2}$ embedded cmc disks with only tangential intersection. Both structural conditions are necessary for the conclusions and involve only those parts of the varifold that are made up of embedded $C^{1, α}$-regular pieces coming together in a regular fashion, making them easy to check in principle. We show also that any family of codimension 1 integral varifolds satisfying these structural and variational hypotheses as well as locally uniform mass and mean curvature bounds is compact in the varifold topology. Our results generalize both the regularity theory of the second author (for stable minimal hypersurfaces) and the regularity theory of Schoen--Simon, for hypersurfaces satisfying a priori a smallness hypothesis on the singular set in addition to the variational hypotheses). Corollaries of the main varifold regularity theorem are obtained for sets of locally finite perimeter, which generalize the regularity theory of Gonzalez--Massari--Tamanini for boundaries that locally minimize perimeter subject to the fixed enclosed volume constraint.

연구 동기 및 목표

• 정규 곡면의 사전 $C^2$ 정규성 조건 없이, 정적 일정 평균 곡률(CMC) 곡면을 적분 변형으로 표현한 국소 정규성 이론을 개발한다.
• Wicreskera(2014)의 안정된 최소 곡면에 대한 정규성 및 콤팩트성 결과와 Schoen–Simon(1981)의 $C^2$ CMC 곡면에 대한 결과를, 사전에 정규성 조건 없이 $L^p$ 첫 번째 변형만을 가지며 특이 집합 크기에 대한 사전 제약 없이도 적용 가능한 적분 변형 설정으로 일반화한다.
• 정규 부분의 $C^1$-통합된 부분에 대해 두 가지 구조 조건을 규명하여, 이들이 정규 부분의 $C^2$ 정규성 결과에 대해 필수적이고 충분한 조건임을 보인다.
• 균일한 질량 및 평균 곡률 유계 조건 하에 이러한 변형의 가족에 대해 콤팩트성 정리를 수립하여, 변형 설정으로 이론을 확장한다.

제안 방법

• 저자들은 변형의 $C^1$-통합된 정규 부분에 대해 두 가지 구조 조건을 도입하여, 정규 조각들이 규칙적이고 제어 가능한 방식으로 만나도록 보장한다.
• $L^p$ 첫 번째 변형 조건($p > n$) 하에서 Allard 정규성 이론을 적용하여, 비어 있지 않은 $C^1$-통합 부분의 존재를 확인한다.
• 증명은 세 개의 정리로 구성된 계층적 구조에 기반한다: 표면성 정리, 최소 거리 정리, 고차 정규성 정리로, 극한 분석을 통해 귀납적으로 증명된다.
• 粗모형화된 극한 분석을 통해 극한 근처의 극한을 분석하고, 특히 평균 곡률과 두 그래프의 반차이에 대해 선형 PDE 추정을 유도한다.
• 분포 도함수는 단위 분할과 잘라내는 함수를 통해 엄밀히 제어되어, 특이 집합을 넘어선 PDE의 구조가 유지됨을 보장한다.
• 균일한 질량 및 평균 곡률 유계 조건 하에서 변형 수렴 논리에 기반하여 콤팩트성을 확립하며, 정규성 결과를 활용해 수렴하는 부분수열을 추출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 1차 수축성 적분 변형의 정규 부분에 대해 $L^p$ 첫 번째 변형($p > n$) 조건을 만족할 때, 어떤 최소한의 구조적 가정이 존재할 경우, 특이 집합의 여부가 7 이상인 부분을 제외한 정규 부분에서의 지원의 $C^2$ 정규성을 유도할 수 있는가?
• RQ2 정규성 및 콤팩트성 이론이 사전에 $C^2$ 정규성 조건이나 특이 집합의 크기 제약 없이도, 적분 변형 설정으로 확장될 수 있는가?
• RQ3 이러한 변형에서 가능한 특이점의 정확한 성격은 무엇이며, 최소 곡면의 고전적 특이점 이외로 분류될 수 있는가?
• RQ4 실제로 이러한 구조 조건을 어떻게 검증할 수 있으며, 이들이 정규성 결론에 대해 필수적이고 충분한 조건인가?
• RQ5 사전 정규성 조건 없이 국소적인 질량 및 평균 곡률 유계 조건 하에 이러한 변형의 가족에 대해 콤팩트성 정리를 수립할 수 있는가?

주요 결과

• 변형의 지원은 하우스도르프 여부가 7 이상인 폐쇄 집합을 제외한 부분에서 $C^2$ 일정 평균 곡률 곡면이다.
• 가능한 유일한 특이점은 두 개의 $C^2$ 통합된 CMC 디스크가 탄성적으로 만나는 두중접촉 특이점이며, 국소적으로는 두 개의 $C^2$ 곡면이 접촉하는 형태로 나타난다.
• 정규 부분에 대한 두 가지 구조 조건은 $C^2$ 정규성 결과에 대해 필수적이고 충분하며, 이는 $C^1$-통합 조각의 기하학적 성질로 기술된다.
• 논문은 콤팩트성 정리를 증명한다: 균일한 질량 및 평균 곡률 유계 조건을 만족하는 이러한 변형의 가족은 변형 위상에서 전콤팩트하다.
• 결과는 Wicreskera(2014)의 최소 곡면 정규성 이론과 Schoen–Simon(1981)의 CMC 이론을 일반화하여, 특이 집합의 사전 크기 제약 없이도 적용 가능하게 한다.
• 지역적으로 유한한 둘레를 가지는 집합에 대해 추론을 도출하며, Gonzalez–Massari–Tamanini 정규성 이론을 체적 제약이 있는 둘레 최소화자 경우로 확장한다.