[논문 리뷰] Stable manifolds of two-dimensional biholomorphisms asymptotic to formal curves

Lorena López‐Hernanz, Jasmin Raissy외 2명|arXiv (Cornell University)|2017. 10. 10.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 24인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 두 차원의 biholomorphism이 항등사상에 접하거나 중립적인 역학을 가지며, 고정된 형식적 곡선에 제한되었을 때, 유한 개의 안정 다변량(열린 영역 또는 포물선 곡선)이 존재함을 증명한다. 이러한 안정 다변량은 곡선에 점 渐진하는 모든 궤도를 포괄하며, 선형 부분에 대한 가정을 초과하지 않는 조건에서, 고전적인 1차원 역학 결과를 두 차원 설정으로 일반화한다.

ABSTRACT

Let $F\in\mathrm{Diff}(\mathbb{C}^2,0)$ be a germ of a holomorphic diffeomorphism and let $\Gamma$ be an invariant formal curve of $F$. Assume that the restricted diffeomorphism $F|_{\Gamma}$ is either hyperbolic attracting or rationally neutral non-periodic (these are the conditions that the diffeomorphism $F|_{\Gamma}$ should satisfy, if $\Gamma$ were convergent, in order to have orbits converging to the origin). Then we prove that $F$ has finitely many stable manifolds, either open domains or parabolic curves, consisting of and containing all converging orbits asymptotic to $\Gamma$. Our results generalize to the case where $\Gamma$ is a formal periodic curve of $F$.

연구 동기 및 목표

• 두 차원 헬모르피즘 동역학에서 고정된 형식적 곡선에 점 渐진하는 궤도의 구조를 규명하는 것.
• C²에서 수렴하는 고정 곡선에서의 고전적 안정 다변량 이론을 형식적 고정 곡선으로 확장하는 것.
• 제한된 맵 F|Γ의 동역학적 조건(초구형 흡인 또는 유리수 중립 비주기적)이 안정 다변량의 존재를 보장하는 데 충분함을 보이는 것.
• 접근-항등 또는 준초구형 케이스의 결과를 일반적인 형식적 주기 곡선의 경우로 일반화하는 것.
• 주어진 고정된 형식적 곡선에 점 渐진하는 모든 궤도를 포괄하는 안정 다변량의 기초를 확립하는 것, 특히 곡선이 발산하는 경우에도 성립한다.

제안 방법

• C²에서의 형식적 및 해석적 동역학을 사용하며, F를 고정된 형식적 곡선 Γ에 제한한 경우에 초점을 맞춘다.
• F의 반복과 F^m으로의 상승을 통해 문제를 기약 고정 곡선의 경우로 환원한다.
• 특이점을 해결하고 쌍 (F, Γ)를 축소된 형태 (eF, eΓ)로 줄이기 위해 블로우업 기법을 적용한다.
• 변환된 맵 eF의 무한소 주요 부분을 분석하여 흡인 및 안정 방향을 규명한다.
• 블로우업 이후 원점 근처에서 반복적 당김과 컴actness 추론을 통해 안정 다변량을 구성한다.
• Leau-Fatou 꽃 정리의 유사성에 기반하여 흡인 방향을 식별하고, 차원에 따라 안정 다변량을 분류한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 두 차원 biholomorphism F ∈ Diff(C², 0)가 고정된 형식적 곡선 Γ에 점 渐진하는 궤도로 구성된 안정 다변량을 갖는 조건은 무엇인가?
• RQ2 선형 부분 DF(0)에 대한 가정 없이, F를 Γ에 제한한 동역학적 행동만으로 이러한 안정 다변량의 존재를 보장할 수 있는가?
• RQ3 형식적 주기 곡선에 점 渐진하는 궤도의 집합의 구조는 어떻게 되며, 이를 유한 개의 안정 다변량이 포괄할 수 있는가?
• RQ4 안정 다변량의 차원(1 또는 2)은 F|Γ의 동역학과 DF(0)의 스펙트럼과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ5 승수(멀티플라이어)가 1이고 맵이 비주기적일 경우, 최소한 하나의 1차원 안정 다변량이 존재함을 보장할 수 있는가?

주요 결과

• 모든 광학 F ∈ Diff(C², 0)와 F-고정 형식적 곡선 Γ(주기적 기약 곡선 Γ₀에 대응)에 대해, F^m|Γ₀가 흡인 또는 유리수 중립 비주기적이라면, 원점 근처에 존재하는 유한 개의 안정 다변량이 있으며, 이는 Γ에 점 渐진하는 모든 궤도를 포괄한다.
• 안정 다변량은 상호 배타적이며, 연결되어 있고, 단순 연결되어 있으며, 순수한 양의 차원을 가지며, 유한 개의 연결 성분을 가진다.
• 1차원 안정 다변량은 Γ에 점 渐진한다; 2차원 안정 다변량 역시 Γ에 점 渐진하도록 선택할 수 있다.
• DF(0)의 스펙트럼이 {1, μ}이고 |μ| ≥ 1일 경우, 최소 ⌈r/4⌉개의 안정 다변량이 차원 1을 가지며, 여기서 r은 F|Γ의 차수이다.
• 스펙트럼 조건이 성립할 경우, 1차원 안정 다변량의 수는 r/4 이상으로 하한이 존재하며, 무한소 주요 부분의 주요 계수의 각도에 따라 특정 경우에 등호가 성립한다.
• 이 구성은 블로우업에 대해 강건하며, 축소된 모델 (eF, eΓ)에서의 흡인 방향 존재에 의존한다. 이 흡인 방향은 다이내믹스에서 안정 방향에 대응한다.