[논문 리뷰] Stable maps and Hurwitz schemes in mixed characteristic

Dan Abramovich, Frans J. Oort|ArXiv.org|1998. 08. 17.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 12인용 수 19

한 줄 요약

이 논문은 안정적인 지도의 모듈리 공간에 대한 유니버설 가 Familly의 안정적인 지도의 모듈리 공간에 임베딩함으로써 혼합 특성의 새로운 축소된 투르비츠 스택을 제안한다. 혼합 특성에서 안정적인 지도의 올바른 아르틴 스택의 존재를 확립하고, 특성 2에서 이중 덮개 투르비츠 스택이 비분리성, 비유한성, 분리되지 않은 일반 섹션을 가지며 특성 0의 경우와는 극명하게 대조됨을 보여준다.

ABSTRACT

In this short note, we propose a definition of complete Hurwitz schemes (and stacks) in mixed characteristic. We follow an idea of R. Pandharipande, and define the complete Hurwitz stack as a substack of stable maps of degree d of nodal pointed curves of genus g to the universal curve over the moduli stack of stable pointed curves of genus h. This substack is simply the closure of the locus of Hurwitz covers in characteristic 0. We describe in detail the reduction modulo 2 of the complete Hurwitz stack of genus 1 double covers of the projective line. The result is wilder than you would imagine in your wildest dreams. We end by speculating about a possible relationship with the work of Abramovich-Vistoli about stable maps into Deligne-Mumford stacks.

연구 동기 및 목표

• 지정된 유리 곡선의 모듈리 공간에 대한 안정적인 지도를 이용하여 혼합 특성에서의 축소된 투르비츠 스킴을 정의하는 것.
• 기본 스킴이 혼합 특성인 경우 안정적인 지도 이론을 확장하여, 유한한 안정자기를 갖는 올바른 아르틴 스택의 존재를 증명하는 것.
• 특성 2에서 이중 덮개의 행동을 분석하여, 4개의 분지점이 있는 P^1에 대한 분지 덮개의 특성에 대해 연구하는 것.
• 양의 특성에서의 유한성과 비분리성의 실패를 설명하고, 잘 행동하는 특성 0의 경우와 대비하는 것.
• 군 작용을 이용한 스택 이론적 몫 구조를 제안하여 혼합 특성에서의 유한한 사상들을 복원하는 것.

제안 방법

• n-지정된 종수 0 곡선의 유니버설 가 Familly에 대한 안정적인 지도의 모듈리 공간 안에서, 매개변수화되지 않은 투르비츠 스택을 닫힘으로서 정의한다.
• 기본 스킴 S 위에서 P^r 에 대한 안정적인 지도의 스택을 정의하고, 대수기하학적 기법을 통해 그 존재성과 올바름을 증명한다.
• 투르비츠 덮개를 n-지정된 곡선에서 n-지정된 유리 곡선으로의 안정적인 지도로 식별하며, 분지점은 분지점으로 사라진다.
• 로그 및 스택 이론적 방법을 적용하여, 양의 특성에서의 붕괴와 비유한성 사상의 처리를 한다.
• 이중 덮개 가 Familly의 특성 2로의 환원을 분석하기 위해 j-불변량과 λ-불변량을 연구하여 네 개의 서로 다른 성분을 도출한다.
• 기저 변경 성질을 유지하는, 혼합 특성에서 비유한성 몫 곡선 P 대신 사용할 수 있는 스택 몫 C/⟨σ⟩를 도입한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기존 이론이 잔여 특성보다 높은 차수에서 실패하는 혼합 특성에서 투르비츠 스킴은 어떻게 축소될 수 있는가?
• RQ2 왜 특성 2에서 축소된 투르비츠 스택은 특성 0과는 달리 비분리성이 되는가?
• RQ3 특성 2에서 이중 덮개의 환원에서 사상의 유한성과 분리성은 어떻게 되는가?
• RQ4 기본적인 몫이 실패할 경우, 안정적인 지도 구조로 유한한 사상을 복원할 수 있는가?
• RQ5 j-불변량과 λ-불변량은 특성 2에서 특수 섹션의 성분 구조에 어떻게 영향을 미치는가?

주요 결과

• 특성 2에서의 축소된 투르비츠 스택은 특성 0의 경우와는 달리 네 개의 기하학적 기하학적 성분을 갖는다.
• 스택이 Mbar_{0,4}에 유한하게 사상되지 않으며, 한 성분은 j-불변량 0과 임의의 λ를 파arameter로 하며, 다른 성분들은 각각 λ=0, 1, 또는 ∞로 고정되어 있다.
• 모든 기하학적 점은 비유한 사상에 대응하며, 특성 2에서 모든 사상의 유한 부분은 순수하게 비분리적이다.
• 성분의 일반 점들은 분리된 곡선 C에 대응하며, C1과 C2 성분은 각각 D의 두 성분으로 순수하게 비분리적으로 사라진다.
• j=0과 λ=0인 성분은 j-불변량 0을 가진 종수 1 곡선이 세 개의 다른 유리 곡선 성분에 부착된 안정한 극한에 대응한다.
• 기본 변경과 교환되지 않는 몫 곡선 P = C/⟨σ⟩는 특성 2에서 실패하지만, 스택 몫 C/⟨σ⟩는 안정적이고 기본 변경과 호환되는 대체 구조를 제공한다.