[논문 리뷰] Stable Phase Retrieval from Locally Stable and Conditionally Connected Measurements

Cheng Cheng, Ingrid Daubechies외 2명|arXiv (Cornell University)|2020. 06. 21.

Advanced X-ray Imaging Techniques참고 문헌 23인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 유한차원 및 무한차원 바나흐 공간에서의 위상 복원을 위한 국소 안정성과 조건부 연결성(LSCC) 측정 프레임워크를 제안한다. 이 프레임워크는 실수의 체이저 상수와 복소수의 대칭성 연결성으로 신호 안정성과 그래프 연결성 간의 관계를 설정한다. 신호에 큰 구멍이 없는 경우, 안정성 상수는 차원에 대해 다항수준으로만 증가하며, 균일 안정성에서 관찰되는 지수적 '차원의 고통'을 피한다.

ABSTRACT

This paper is concerned with stable phase retrieval for a family of phase retrieval models we name "locally stable and conditionally connected" (LSCC) measurement schemes. For every signal $f$, we associate a corresponding weighted graph $G_f$, defined by the LSCC measurement scheme, and show that the phase retrievability of the signal $f$ is determined by the connectivity of $G_f$. We then characterize the phase retrieval stability of the signal $f$ by two measures that are commonly used in graph theory to quantify graph connectivity: the Cheeger constant of $G_f$ for real valued signals, and the algebraic connectivity of $G_f$ for complex valued signals. We use our results to study the stability of two phase retrieval models that can be cast as LSCC measurement schemes, and focus on understanding for which signals the "curse of dimensionality" can be avoided. The first model we discuss is a finite-dimensional model for locally supported measurements such as the windowed Fourier transform. For signals "without large holes", we show the stability constant exhibits only a mild polynomial growth in the dimension, in stark contrast with the exponential growth which uniform stability constants tend to suffer from; more precisely, in $R^d$ the constant grows proportionally to $d^{1/2}$, while in $C^d$ it grows proportionally to $d$. We also show the growth of the constant in the complex case cannot be reduced, suggesting that complex phase retrieval is substantially more difficult than real phase retrieval. The second model we consider is an infinite-dimensional phase retrieval problem in a principal shift invariant space. We show that despite the infinite dimensionality of this model, signals with monotone exponential decay will have a finite stability constant. In contrast, the stability bound provided by our results will be infinite if the signal's decay is polynomial.

연구 동기 및 목표

• 고차원 또는 무한차원 공간에서의 위상 복원의 불안정성 문제를 해결하기 위해, 균일 안정성 상수가 차원에 따라 지수적으로 증가하는 현상을 방지하고자 한다.
• 측정 공간 내 신호에 특화된 연결성을 기반으로 위상 복원 안정성을 기술하는 국소 안정성 프레임워크를 개발하고자 한다.
• 특히 국소적으로 지원되는 측정에 대해 '차원의 고통'이 발생하지 않도록 하는 조건을 규명하고자 한다.
• 위상 복원 안정성과 체이저 상수, 대칭성 연결성 등의 그래프 이론적 측정치 간의 정량적 연관성을 수립하고자 한다.
• 유한차원 윈도우드 푸리에 변환 및 무한차원 이동 불변 공간의 두 모델을 LSCC 프레임워크 하에서 분석하고자 한다.

제안 방법

• 각 신호 $ f $ 에 대해, 간선이 측정의 겹침을 나타내고 가중치가 신호 계수에서 유도된 가중치 그래프 $ G_f $ 를 정의한다.
• 실수 신호의 국소 안정성은 $ G_f $ 의 체이저 상수로 측정하고, 복소수 신호의 경우 대칭성 연결성으로 측정한다.
• 위상 복원 가능성과 $ G_f $ 의 연결성 간의 관계를 설정하여, 연결된 그래프일 경우 안정적 위상 복원이 가능함을 보여준다.
• 스펙트럼 그래프 이론을 적용하여, 안정성 상수를 가장 작은 양의 고유값(대칭성 연결성)과 간선 확장도(체이저 상수)를 이용해 경계한다.
• 윈도우드 푸리에 측정을 사용하는 유한차원 모델을 분석하여, 큰 구멍이 없는 신호의 경우 안정성 상수가 다항수준으로 증가함을 증명한다.
• 결과를 무한차원 이동 불변 공간으로 확장하여, 단조 감소하는 지수적 감쇠를 보이는 신호의 경우 유한한 안정성 상수를 가지며, 다항 감쇠를 보이는 신호의 경우 무한한 상수를 가짐을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고차원 또는 무한차원 공간에서 위상 복원 안정성은 균일한 방식이 아니라 국소적으로 특징지울 수 있는가?
• RQ2 측정에 의해 유도된 그래프 $ G_f $ 의 연결성은 주어진 신호 $ f $ 의 위상 복원 안정성과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ3 신호 및 측정 시스템에 어떤 조건이 충족되어야 '차원의 고통'(안정성 상수가 지수적으로 증가)을 피할 수 있는가?
• RQ4 유한차원 윈도우드 푸리에 위상 복원에서 안정성 상수의 증가율은 무엇인가? 특히 큰 구멍이 없는 신호의 경우 어떻게 되는가?
• RQ5 이동 불변 공간에서의 무한차원 위상 복원은 지수적 감쇠를 보이는 신호에 대해 유한한 안정성 상수를 가질 수 있는가?

주요 결과

• 실수 신호의 경우 $ \mathbb{R}^d $ 에서 LSCC 프레임워크 하에서 안정성 상수는 $ d^{1/2} $ 비례로 증가하며, 지수적 증가를 피한다.
• 복소수 신호의 경우 $ \mathbb{C}^d $ 에서 안정성 상수는 $ d $ 비례로 증가하며, 이는 감소할 수 없으며, 이는 복소수 위상 복원에서 본질적인 어려움을 시사한다.
• 계수 지지에 큰 구멍이 없는 신호는 고차원에서도 안정적 위상 복원을 가능하게 하며, 안정성 상수의 다항수준 증가만을 보인다.
• 무한차원 이동 불변 공간에서 단조 감소하는 지수적 감쇠를 보이는 신호는 유한한 안정성 상수를 가지며, 다항 감쇠를 보이는 신호는 그렇지 않다.
• 실수 위상 복원의 경우 $ G_f $ 의 체이저 상수는 안정성 상수의 하한으로 작용하며, 복소수의 경우 대칭성 연결성이 동일한 역할을 한다.
• LSCC 프레임워크는 그래프 이론적 측정치를 통해 위상 복원 안정성의 정밀한 특징을 제공하며, 균일 안정성 경계를 넘어서는 분석을 가능하게 한다.