[논문 리뷰] Stable prescribed-mean-curvature integral varifolds of codimension 1: regularity and compactness

Costante Bellettini, Neshan Wickramasekera|arXiv (Cornell University)|2019. 02. 26.

Geometric Analysis and Curvature Flows참고 문헌 13인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 일반 리만 다양체에서 주어진 평균 곡률 $g \in C^{1,\alpha}$를 갖는 codimension-1 정수 변형체에 대한 규칙성 및 콤팩트성 이론을 수립한다. 유한 모르스 지수와 약화된 구조 조건 하에서 이러한 변형체는 여부에 따라 $C^2$ 임베딩 초곡면이 되며, 평균 곡률이 $g\nu$임을 보이며, 특이점 집합의 codimension이 $\geq 7$임을 보인다. 일관된 질량 유계 조건 하에서 콤팩트 클래스를 규명하며, 이는 이전의 CMC 결과를 일반 $g$로 확장한다. 결과는 카치오피올리 집합의 축소 경계에 적용되며, 단계 전이 문제에 적용 가능한 추상적 규칙성 정리를 도출한다.

ABSTRACT

In a previous paper we developed a regularity and compactness theory in Euclidean ambient spaces for codimension 1 weakly stable CMC integral varifolds satisfying two (necessary) structural conditions. Here we generalize this theory to the setting where the mean curvature (of the regular part of the varifold) is prescribed by a given $C^{1, α}$ ambient function $g$ and the ambient space is a general $(n+1)$-dimensional Riemannian manifold; we give general conditions that imply that the support of the varifold, away from a possible singular set of dimension $\leq n-7,$ is the image of a $C^{2}$ immersion with continuous unit normal $ν$ and mean curvature $gν$. These conditions also identify a compact class of varifolds subject to an additional uniform mass bound. If $g$ does not vanish anywhere, or more generally if the set $\{g=0\}$ is sufficiently small (e.g. if ${\mathcal H}^{n}\,(\{g=0\})=0$), then the results and their proofs are quite analogous to the CMC case. When $g$ is arbitrary however, a number of additional considerations must be taken into account: first, the correct second variation assumption is that of finite Morse index (rather than weak stability); secondly, to have a geometrically useful theory with compactness conclusions, one of the two structural conditions on the varifold must be weakened; thirdly, in view of easy examples, this weakening of a structural hypothesis necessitates additional hypotheses in order to reach the same conclusion. We identify two sets of additional assumptions under which this conclusion holds for general $g$: one of them gives regularity and compactness, the other one gives regularity and is applicable to certain phase transition problems. We also provide corollaries for multiplicity $1$ varifolds associated to reduced boundaries of Caccioppoli sets. In these cases, some or all of the structural assumptions become redundant.

연구 동기 및 목표

• 일반 리만 환경에서 안정적인 CMC 정수 변형체에 대한 규칙성 및 콤팩트성 이론을 주어진 평균 곡률 $g \in C^{1,\alpha}$인 경우로 일반화하는 것.
• 평균 곡률이 $g\nu$인 변형체의 규칙적 부분이 $C^2$ 임베딩이 되기 위한 필요 및 충분 조건을 규명하는 것. 이때 $g$가 양의 측도를 갖는 집합에서 0이 될 수 있음을 고려한다.
• 일관된 질량 유계와 유한 모르스 지수 하에서 이러한 변형체에 대해 콤팩트성 정리를 수립하여 CMC 프레임워크를 일반 $g$로 확장하는 것.
• 카치오피올리 집합의 축소 경계에서 유도된 다중도-1 변형체의 경우, 구조 조건이 불필요해지며 이론이 단순화됨을 보이는 것.

제안 방법

• 주어진 평균 곡률 $g\nu$를 갖는 변형체에 대해 $J_g = A + \mathrm{Vol}_g$의 변분 프레임워크를 적응하여 $J_g$-정적 및 $J_g$-안정성을 정의한다.
• CMC 경우의 구조 조건 (ii)의 약화된 형태를 도입하여 $\{g=0\}$이 ${\mathcal{H}}^n$-측도로 양의 측도를 가질 수 있음을 수용한다.
• $g$가 엄밀히 양수가 아닐 경우 약한 안정성 대신 유한 모르스 지수 가정을 도입하여, 비최소 및 비안정 해석을 가능하게 한다.
• 좌표 차트 내에서 국소화된 PDE 추정 및 한쪽 최대원리 적용을 통해 잠재적 특이점 근처 변형체의 행동을 통제한다.
• 초기 시트 이론과 쇼엔의 부등식을 활용하여 안정성 및 정적 조건에서 국소적 규칙성을 도출한다.
• 변형체가 기능의 임계점이 되어야 하는 조건이 필요하지 않은 추상적 규칙성 정리(정리 9.1)를 유도하여, 단계 전이 모델에 대한 더 넓은 적용 가능성을 확보한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 codimension-1 정수 변형체가 주어진 평균 곡률 $g \in C^{1,\alpha}$를 갖는 경우, 특이점 집합의 codimension이 $\geq 7$이면 어떤 조건에서 $C^2$ 임베딩이 되는가?
• RQ2 평균 곡률이 일반적인 $C^{1,\alpha}$ 함수 $g$로 주어진 경우, 안정적인 CMC 변형체에 대한 콤팩트성 이론을 어떻게 일반화할 수 있는가? 특히 $g$가 양의 측도를 갖는 집합에서 0이 되는 경우를 고려할 때.
• RQ3 $g$가 엄밀히 양수가 아닐 경우, 규칙성 및 콤팩트성을 유지하기 위해 필요한 및 충분한 구조 가정의 수정은 무엇인가?
• RQ4 카치오피올리 집합의 축소 경계에서 유도된 변형체에 대해, 구조 가정이 불필요해지는 경우 규칙성 및 콤팩트성 결과를 회복할 수 있는가?
• RQ5 유한 모르스 지수 조건이 $g$가 임의일 경우 약한 안정성의 대체로 기능하는 데서 어떤 역할을 하는가? 이는 변형체의 구조에 어떻게 영향을 미치는가?

주요 결과

• 유한 모르스 지수와 약화된 구조 조건을 만족하는 변형체의 규칙적 부분은 특이점 집합의 codimension이 $\geq 7$이외에는 연속 단위 법선과 평균 곡률 $g\nu$를 갖는 $C^2$ 임베딩이 된다.
• 일관된 질량 유계와 유한 모르스 지수 하에서 이러한 변형체의 가족에 대해 콤팩트성 정리가 성립하며, 수렴한 극한 변형체는 동일한 규칙성 및 곡률 조건을 만족한다.
• 만약 $g$가 해석적이고 $\{g=0\}$의 최상위 스트라툼의 임의의 기약 성분이 최소가 아니면, 나머지 가정 하에서 가설 (b T )을 요구하지 않아도 정리 A.1의 규칙성 결론이 성립한다.
• 카치오피올리 집합의 축소 경계에서 유도된 다중도-1 변형체의 경우, 구조 가정 (i) 및 (ii)는 불필요하며, 변형체는 codimension-$\geq 7$의 특이점 집합 이외에는 $C^2$로 임베딩된 $g$-초곡면이 된다.
• 기능의 임계점이 되어야 하는 조건이 필요 없는 추상적 규칙성 정리(정리 9.1)가 수립되었으며, 이는 PDE 기반 단계 전이 모델에의 응용 가능성을 보장한다.
• 가설 (b T )이 비한계적이고 비준거형 임베딩(예: 반대 방향의 이중 시트)을 배제하기 위해 필수적임을 보이며, 기하학적으로 의미 있는 콤팩트성 보장을 한다.