[논문 리뷰] Stable representation homology and Koszul duality

Yuri Berest, Ajay C. Ramadoss|arXiv (Cornell University)|2013. 04. 05.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 22인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 유도된 표현 스킴의 반대로 극한 구조를 통해 안정된 표현 호모로지의 개념을 도입함으로써, Procesi의 정리에 대한 유도된 판본을 확립한다. 이는 증명된 바로, 증분된 대수의 순환 호모로지 위의 대칭 텐서 대수는 안정된 표현 호모로지와 동형이 되며, 유한 차원에서의 추적 사상의 상호성 문제를 해결한다. 핵심 결과는 무한 차원 극한에서 순환 호모로지 위의 대칭 대수와 추적 부분대수의 호모로지 사이의 동형이며, 이는 Koszul 대칭성과 리 호모로지 내의 조합적 항등식에 응용된다.

ABSTRACT

This paper is a sequel to [BKR], where we studied the derived affine scheme DRep_n(A) of the classical representation scheme Rep_n(A) for an associative k-algebra A. In [BKR], we have constructed canonical trace maps Tr_n(A): HC(A) -> H[DRep_n(A)]^GL extending the usual characters of representations to higher cyclic homology. This raises a question whether a well known theorem of Procesi [P] holds in the derived setting: namely, is the algebra homomorphism Sym[Tr_n(A)]: Sym[HC(A)] -> H[DRep_n(A)]^GL defined by Tr_n(A) surjective ? In the present paper, we answer this question for augmented algebras. Given such an algebra, we construct a canonical dense DG subalgebra DRep_\infty(A)^Tr of the topological DG algebra DRep_\infty(A)^{GL_\infty}. It turns out that on passing to the inverse limit (as n -> \infty), the family of maps Sym[Tr_n(A)] "stabilizes" to an isomorphism Sym[\bar{HC}(A)] = H[DRep_\infty(A)^Tr]. The derived version of Procesi's theorem does therefore hold in the limit. However, for a fixed (finite) n, there exist homological obstructions to the surjectivity of Sym[Tr_n(A)], and we show on simple examples that these obstructions do not vanish in general. We compare our result with the classical theorem of Loday-Quillen and Tsygan on stable homology of matrix Lie algebras. We show that the relative Chevalley-Eilenberg complex C(gl_\infty(A), gl_\infty(k); k) equipped with the natural coalgebra structure is Koszul dual to the DG algebra DRep_\infty(A)^Tr. We also extend our main results to bigraded DG algebras, in which case we show that DRep_{\infty}(A)^Tr = DRep_{\infty}(A)^GL_{\infty}. As an application, we compute the (bigraded) Euler characteristics of DRep_\infty(A)^GL_{\infty} and \bar{HC}(A) and derive some interesting combinatorial identities.

연구 동기 및 목표

• 유한 n에 대해 대수 준동형사상 ΛTrn(A)• : Λk[HC•(A)] → H•[DRepn(A)]GLn 가 전사인지 여부를 해결하기 위해.
• 유도된 표현 스킴의 반대로 극한을 통해 안정된 극한 대상 DRep∞(A)Tr 을 구성하여, 추적 사상의 안정화를 가능하게 하기 위해.
• 순환 호모로지 위의 대칭 대수와 안정된 표현 호모로지 사이의 동형을 확립함으로써, Procesi의 정리의 유도된 판본을 증명하기 위해.
• 무한 차원의 일반선형 대수 gl∞(A)의 체발리-에일버그 복합체와 추적 부분대수 DRep∞(A)Tr 사이의 Koszul 대칭성을 탐색하기 위해.
• 이중분할 구조에서 오일러 특성 계산을 통해 조합적 항등식을 도출하기 위해.

제안 방법

• 유도된 표현 스킴 DRepn(A)를 n차원 A-표현의 유도된 모듈리를 나타내는 가환 DG 대수로 구성한다.
• DRepn+1(A) → DRepn(A) 의 안정화 사상들을 정의하여 반대로 극한을 이루는 역계열을 형성한다. 이로써 DRep∞(A)GL∞ 를 얻는다.
• GL∞ 작용에 대해 닫혀 있는 밀도 있는 DG 부분대수로서 DRep∞(A)Tr ⊂ DRep∞(A)GL∞ 를 정의한다.
• 가족으로서의 추적 사상 ΛTrn(A)• 가 반대로 극한에서 동형사상 Λk[HC•(A)] ∼= H•(A, ∞)Tr 로 안정화됨을 증명한다.
• C•(gl∞(A), gl∞(k); k) → DRep∞(A)Tr 로 가는 표준적인 기울임 1-코체 τ∞,∞(A) 를 구성함으로써, 체발리-에일버그 복합체가 추적 부분대수와 Koszul 쌍대임을 보인다.
• 이중분할 구조를 이용하여 DRep∞(A)Tr = DRep∞(A)GL∞ 임을 보이고, 오일러 특성 계산과 조합적 항등식을 가능하게 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유한 n에 대해 대수 준동형사상 ΛTrn(A)• : Λk[HC•(A)] → H•[DRepn(A)]GLn 가 전사인가?
• RQ2 n → ∞ 의 극한에서 추적 사상의 가족이 동형으로 안정화되는가?
• RQ3 안정된 표현 호모로지 H•(A, ∞)Tr 와 gl∞(A) 의 리 호모로지 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ4 체발리-에일버그 복합체 C•(gl∞(A), gl∞(k); k) 는 추적 부분대수 DRep∞(A)Tr 와 Koszul 쌍대인가?
• RQ5 DRep∞(A)GL∞ 와 HC•(A) 의 오일러 특성을 계산하고, 이를 조합적 항등식과 연결할 수 있는가?

주요 결과

• 일반적으로 유한 n에 대해 맵 ΛTrn(A)• 는 전사가 아니며, 5.3.1 절에서 명시적인 반례를 통해 호모로지적 장벽이 있음을 보였다.
• 반대로 극한에서 추적 사상은 동형으로 안정화된다: Λk[HC•(A)] ∼= H•(A, ∞)Tr 로서, Procesi의 정리의 유도된 판본을 증명한다.
• 체발리-에일버그 복합체 C•(gl∞(A), gl∞(k); k) 는 약한 기울임 1-코체 τ∞,∞(A) 를 통해 DRep∞(A)Tr 와 Koszul 쌍대이며, 이는 H•(A, ∞)Tr ∼= Ext−•C(k, k) 를 암시한다.
• 이중분할 DG 대수의 경우 DRep∞(A)Tr = DRep∞(A)GL∞ 이므로, 안정화 정리에 의해 Λ[HC•(A)] ∼= H•(A, ∞)GL∞ 가 도출된다.
• 오일러 특성 계산을 통해 매크도널드 추측과 몰렌-바일 적분에 영감을 받은 새로운 조합적 항등식이 도출된다.
• 추적 부분대수 DRep∞(A)Tr 는 자연스러운 코커뮤터티 DG 호프 대수의 구조를 지니며, 그 호모로지가 그레디에이션 호프 대수임을 보여준다.