[논문 리뷰] Stable Signatures for Dynamic Graphs and Dynamic Metric Spaces via Zigzag Persistence

Woojin Kim, Facundo Mémoli|arXiv (Cornell University)|2017. 12. 11.

Topological and Geometric Data Analysis참고 문헌 3인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 시간에 따라 변화하는 그래프와 거리 공간을 위한 시간 의존적 군집 요약인 formigram을 제안하며, zigzag 지속성( persistence)을 사용하여 안정적이고 계산 가능한 바코드(barcode)를 생성한다. 이는 바코드 간의 블록거리(bottleneck distance)가 동적 그래프 간의 거리에 대한 다항식 시간 내 계산 가능한 하한(lower bound)를 제공함으로써, 입력의 변형에 대해 안정성을 보장함을 증명한다.

ABSTRACT

When studying flocking/swarming behaviors in animals one is interested in quantifying and comparing the dynamics of the clustering induced by the coalescence and disbanding of animals in different groups. In a similar vein, studying the dynamics of social networks leads to the problem of characterizing groups/communities as they form and disperse throughout time. Motivated by this, we study the problem of obtaining persistent homology based summaries of time-dependent data. Given a finite dynamic graph (DG), we first construct a zigzag persistence module arising from linearizing the dynamic transitive graph naturally induced from the input DG. Based on standard results, we then obtain a persistence diagram or barcode from this zigzag persistence module. We prove that these barcodes are stable under perturbations in the input DG under a suitable distance between DGs that we identify. More precisely, our stability theorem can be interpreted as providing a lower bound for the distance between DGs. Since it relies on barcodes, and their bottleneck distance, this lower bound can be computed in polynomial time from the DG inputs. Since DGs can be given rise by applying the Rips functor (with a fixed threshold) to dynamic metric spaces, we are also able to derive related stable invariants for these richer class of dynamic objects. Along the way, we propose a summarization of dynamic graphs that captures their time-dependent clustering features which we call formigrams. These set-valued functions generalize the notion of dendrogram, a prevalent tool for hierarchical clustering. In order to elucidate the relationship between our distance between two DGs and the bottleneck distance between their associated barcodes, we exploit recent advances in the stability of zigzag persistence due to Botnan and Lesnick, and to Bjerkevik.

연구 동기 및 목표

• 시간에 따라 변화하는 네트워크와 거리 공간을 위한 안정적이고 지속성 homology 기반의 요약을 개발하여, 그룹 형성과 해체와 같은 군집 역학을 포착하는 것.
• 동적 그래프에서 시간 의존적 군집을 모델링할 수 있도록 계통수(dendrogram)를 일반화한 새로운 유형의 객체인 formigram을 정의하는 것.
• 동적 그래프 간의 거리와 그들의 지속성 바코드 간의 블록거리 사이를 연결하는 안정성 정리를 수립하는 것.
• 고정된 임계값을 사용한 Rips 함자(functor)를 통해 동적 거리 공간으로의 프레임워크 확장을 통해 더 풍부한 시간적 데이터에 대한 안정적 불변량을 제공하는 것.
• 바코드에서 유도된 다항식 시간 내 계산 가능한 하한을 활용하여 동적 그래프를 효율적으로 비교하는 방법을 제공하는 것.

제안 방법

• 동적 그래프의 선형화된 전치폐쇄(linearized transitive closure)에서 zigzag 지속성 모듈을 구성하여 시간에 따른 군집 진화를 인코딩하는 것.
• 표준 zigzag 지속성 이론을 적용하여 zigzag 모듈로부터 지속성 바코드 또는 다이어그램을 도출하는 것.
• 간선과 정점의 시간 태그 perturbation에 기반한 적절한 동적 그래프 간의 거리 정의를 통해, 소규모 변화에 대해 안정성을 확보하는 것.
• Botnan과 Lesnick, Bjerkevik의 최근 안정성 결과를 활용하여, 바코드 간의 블록거리가 입력 그래프 거리에 대한 하한으로서 작용함을 증명하는 것.
• 고정된 임계값을 사용한 Rips 함자를 동적 거리 공간에 적용하여 동적 그래프를 생성함으로써, 거리 공간의 동적 특성에 대한 안정성 확장을 이루는 것.
• 결과로 도출된 바코드를 동적 그래프 및 거리 공간에서 시간에 따라 변화하는 군집 패턴의 안정적이고 정보적인 요약으로 사용하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떻게 시간에 따라 변화하는 동적 그래프에 대해 군집 행동의 변화를 포착할 수 있는 안정적이고 지속성 homology 기반의 요약을 구성할 수 있는가?
• RQ2 어떤 거리 척도를 사용하면 동적 그래프 간의 바코드가 소규모 변형에 대해 안정적인가?
• RQ3 바코드 간의 블록거리가 동적 그래프 간의 기저 거리와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ4 Formigram은 기존의 계통수를 일반화한 시간 인식 가능한 대체 수단으로서 동적 군집 분석에 활용될 수 있는가?
• RQ5 Rips 구성법을 통해 동적 그래프에서 동적 거리 공간으로 안정성 프레임워크를 확장할 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 바코드 간의 블록거리가 동적 그래프 간의 거리에 대한 다항식 시간 내 계산 가능한 하한임을 입증한다.
• Formigram은 시간 의존적 군집을 포착하는 계통수의 일반화로, 동적 그룹의 복잡한 구조를 더 풍부하게 분석할 수 있도록 한다.
• 안정성 정리에 따르면, 입력 동적 그래프에 대한 소규모 변형은 블록거리 기준으로 바코드에 제한된 변화만을 초래함을 보장한다.
• 고정된 임계값을 사용한 Rips 함자를 적용함으로써, 동적 거리 공간으로의 프레임워크 확장이 가능해지며, 이러한 공간에 대한 안정적 불변량을 제공한다.
• Zigzag 지속성을 활용함으로써, 군집의 융합과 분열을 모두 시간에 따라 모델링할 수 있으며, 복잡한 동적 행동을 포착할 수 있다.
• Botnan과 Lesnick, Bjerkevik의 이론적 결과를 활용하여 제안된 방법의 안정성을 입증함으로써, 최신 zigzag 지속성의 발전에 기반한 타당한 기초를 마련한다.