[논문 리뷰] Stably ergodic diffeomorphisms which are not partially hyperbolic

Ali Tahzibi|ArXiv.org|2002. 06. 08.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 5인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 부분 호분성 없이, 불변 초구조가 없는 $C^2$ 체적보존 미분동형사상의 한 클래스에 대해 안정적 에르고딕성을 확립한다. 이는 부분 호분성 대신 지배 분할과 비균일 호분성을 기반으로 한다. 이 시스템들이 안정적으로 에르고딕함을 증명하고, 비보존적 변형이 존재할 경우 유일한 SRB 측도가 존재하며, 그 기저가 르베그 측도 전역을 차지함을 보여, Bonatti-Viana(2000)에서 제기한 열린 문제를 해결한다.

ABSTRACT

We show stable ergodicity of a class of conservative diffeomorphisms which do not have any hyperbolic invariant subbundle. Moreover the uniqueness of SRB measures for non-conservative $C^1$ perturbations of such diffeomorphisms. This class contains strictly non-partially hyperbolic robustly transitive diffeomorphisms by Bonatti-Viana and so we answer their question about the stable ergodicity of such systems.

연구 동기 및 목표

• Bonatti와 Viana(2000)가 제기한, 강력하게 전이 가능한 비부분 호분성 미분동형사상의 안정적 에르고딕성에 관한 열린 문제를 해결하기 위해.
• 불변 초구조가 없는 $C^2$ 보존 미분동형사상의 한 클래스에 대해 안정적 에르고딕성을 확립하기 위해.
• 이러한 시스템의 비보존적 $C^1$ 변형에 대해 SRB 측도의 유일성을 증명하기 위해.
• 체적 호분성과 지배 분할이 비부분 호분성 없이도 비균일 호분성과 에르고딕성을 보장하는 데 충분한지를 보여주기 위해.
• ABV00 프레임워크에 따라 구성된 $cu$-Gibbs 측도가 동시 초구조 시간 조건을 요구하지 않더라도 SRB 측도임을 보여주며, 이는 기저가 양의 르베그 측도를 가짐을 확인함으로써 물리적 관련성을 입증하기 위해.

제안 방법

• 선형 Anosov 미분동형사상 $f_0$의 $C^1$-근접 변형으로 구성된 클래스 $\mathcal{V} \subset \operatorname{Diff}^2_{\omega}(\mathbb{T}^n)$를 정의하며, 이는 유한한 소구역의 합집합 $V$에서만 수정된다.
• 연속적이고 $Df$-불변인 코ーン 필드 $C^{cs}, C^{cu}$를 포함하는 지배 분할 $TM = E^{cs} \oplus E^{cu}$를 사용한다.
• 체적 호분성 조건을 통해 비균일 호분성을 확립한다: 어떤 $C>0$, $\lambda<1$에 대해 $|\det(Df^n|E^1)| \leq C\lambda^n$ 및 $|\det(Df^{-n}|E^2)| \leq C\lambda^n$.
• 동역학적으로 평탄한 부분다양체의 기하학과 $D^\infty(x)$ (국소 강력 불안정 다각형)가 전역 $C^1$ 그래프 안에 있음을 이용하여, 거의 모든 곳에서 $E^{cs}$ 방향으로 음의 리아풀로프 지수를 확보한다.
• 안정 레이어의 절대 연속성과 $cu$-Gibbs 측도의 구조를 활용하여, 그 기저가 양의 르베그 측도를 가짐을 보여준다.
• $C^1$ 위상에서의 변형 기법을 사용하여, 특히 비강건한 경우에 지배 분할이 없음을 통해 싱크의 존재를 방지함으로써, 소규모 $C^1$ 변형 하에서 성질의 강건성을 확보한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 부분 호분성이 없이, 즉 불변 초구조가 없이도 안정적 에르고딕성이 달성될 수 있는가?
• RQ2 지배 분할과 체적 호분성이 비보존적 변형에 대해 SRB 측도의 유일성을 보장하는 데 충분한가?
• RQ3 ABV00의 프레임워크에 따라 구성된 $cu$-Gibbs 측도가 동일한 초구조 시간 조건 없이도 SRB 측도임을 보일 수 있는가?
• RQ4 보존 시스템에서 $C^1$-강건한 분해불가능성은 지배 분할의 존재와 동치인가?
• RQ5 비부분 호분성 시스템의 강건한 전이성은 접근성 또는 부분 호분성을 요구하지 않고도 안정적 에르고딕성을 암시하는가?

주요 결과

• 모든 $f \in \mathcal{V} \cap \operatorname{Diff}^2_{\omega}(\mathbb{T}^n)$는 안정적으로 에르고딕적이며, 이는 $f$의 $C^1$ 근방이 전부 에르고딕인 미분동형사상으로 이루어져 있음을 의미한다.
• 체적 호분성 조건을 만족하는 비보존적 $f \in \mathcal{V} \cap \operatorname{Diff}^2(\mathbb{T}^n)$에 대해, 르베그 측도 전역을 차지하는 기저를 가진 유일한 SRB 측도가 존재한다.
• ABV00의 방법에 따라 구성된 $cu$-Gibbs 측도는 동일한 초구조 시간 조건을 요구하지 않지만, $D^\infty(x)$ 상 거의 모든 점에서 $E^{cs}$ 방향으로 음의 리아풀로프 지수를 가지므로 SRB 측도임을 보였다.
• $\mathcal{V}$는 Bonatti와 Viana(2000)가 구성한 비부분 호분성 강력 전이 가능한 미분동형사상의 클래스를 엄격히 포함하므로, 그들이 제기한 안정적 에르고딕성에 관한 열린 문제를 해결한다.
• 이 증명은 $D^\infty(x)$가 동역학적으로 평탄한 부분다양체 안에 있음을 이용하여, 거의 모든 점에서 $E^{cs}$ 방향으로 음의 리아풀로프 지수를 가지며, 이는 에르고딕성에 필수적이다.
• $\mathcal{V}$ 내에서 싱크의 부재는 지배 분할과 동역학의 $C^1$-강건성에 의해 보장되며, 이는 소규모 변형 하에서 주기적 흡착점의 존재를 방지한다.