[논문 리뷰] Stack-Sorting Preimages of Permutation Classes

Colin Defant|arXiv (Cornell University)|2018. 09. 10.

Advanced Combinatorial Mathematics참고 문헌 24인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 유효한 후크 구성(configuration)를 사용하여 웨스트의 스택 정렬 맵 아래에서 순열 클래스의 전이(preimage)를 계산하는 새로운 프레임워크를 제안한다. 이를 통해 패턴을 피하는 집합으로 매핑되는 순열의 정확한 수를 세는 데 기여한다. 이는 2-스택 정렬 가능한 순열에 대한 열린 문제를 해결하고, 단조 증가 수열과 대칭 패턴을 포함한 다양한 클래스에 대한 닫힌 형태와 생성함수를 제공한다.

ABSTRACT

We extend and generalize many of the enumerative results concerning West's stack-sorting map $s$. First, we prove a useful theorem that allows one to efficiently compute $|s^{-1}(π)|$ for any permutation $π$, answering a question of Bousquet-Mélou. We then enumerate permutations in various sets of the form $s^{-1}( ext{Av}(τ^{(1)},\ldots,τ^{(r)}))$, where $ ext{Av}(τ^{(1)},\ldots,τ^{(r)})$ is the set of permutations avoiding the patterns $τ^{(1)},\ldots,τ^{(r)}$. These preimage sets often turn out to be permutation classes themselves, so the current paper represents a new approach, based on the theory of valid hook configurations, for solving classical enumerative problems. In one case, we solve a problem previously posed by Bruner. We are often able to refine our counts by enumerating these permutations according to their number of descents or peaks. Our investigation not only provides several new combinatorial interpretations and identities involving known sequences, but also paves the way for several new enumerative problems.

연구 동기 및 목표

• 웨스트의 스택 정렬 맵 아래에서 전이의 크기 $|s^{-1}( ext{Av}( au^{(1)}, \break \tau^{(2)}, \break \\dots, \break \tau^{(r)}))|$ 를 일반적으로 계산하는 방법을 개발하는 것.
• 정렬 가능한 순열과 2-스택 정렬 가능한 순열을 초월하여 순열 클래스의 전이를 특성화함으로써 전통적인 스택 정렬 수에 대한 추상적 결과를 확장하는 것.
• 유효한 후크 구성(configuration)를 활용해 내림차순과 피크 통계를 기반으로 한 세분화된 수를 세는 것으로, 더 깊은 조합적 구조를 제공하는 것.
• 2-스택 정렬 가능한 순열에 대한 열린 문제를 해결하고, 전이 생성함수에 대한 새로운 추측을 제시하는 것.
• 전이 집합과 기존의 조합적 수열, 특히 카탈란 수와 모츠킨 유사 수열 사이의 연결 고리를 설정하는 것.

제안 방법

• 부스케 빌로의 질문을 해결하기 위해, 임의의 순열 $\tau$에 대해 $|s^{-1}(\tau)|$ 를 효율적으로 계산할 수 있는 정리를 도입한다.
• 유효한 후크 구성(configuration) 이론을 적용하여 내림차순과 피크 통계를 기준으로 $s^{-1}( ext{Av}( au^{(1)}, \dots, \tau^{(r)}))$ 내 순열의 수를 세는 데 사용한다.
• 스택 정렬 맵 $s(\pi) = s(L)s(R)n$ 의 재귀적 구조를 활용하여 최대 원소의 위치에 따라 전이 집합을 분해한다.
• 생성함수와 조합적 종류 기법을 사용하여 전이 수의 닫힌 형태를 유도하며, 특히 $\text{Av}(132, 312)$, $\text{Av}(132, 231)$, $\text{Av}(231, 321)$ 에 대해 유의미한 결과를 도출한다.
• 기존의 이분법(예: 싸움 물고기와 2-스택 정렬 가능한 순열 간의 이분법)을 활용하여 결과의 타당성과 정교함을 검증하고 개선한다.
• 특정 순열 클래스 내에서 후위 순회가 일어나는 감소 평면 트리의 수를 세는 일반적 프레임워크를 제안하며, 이는 스택 정렬 전이 문제를 일반화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 부스케 빌로가 제기한 바와 같이, 임의의 순열 $\tau$에 대해 $|s^{-1}(\tau)|$ 를 효율적으로 계산할 수 있는가?
• RQ2 $s^{-1}(\text{Av}(132, 312))$ 와 $s^{-1}(\text{Av}(132, 231))$ 의 정확한 수를 세고, 이들의 생성함수가 동일한가?
• RQ3 $|s^{-1}(\text{Av}_n(123\cdots m))|$ 수열이 $m \geq 2$ 에 대해 단조 증가하는가?
• RQ4 $\theta_{n,k}$ 는 감소하는 접두사가 있는 특정 순열이며, $m$ 개의 피크를 가진 $s^{-1}(\theta_{n,k})$ 내 순열의 수에 대해 닫힌 형태를 찾을 수 있는가?
• RQ5 $s^{-1}(\text{Av}(231, 321))$ 의 정확한 수를 세고, 이 수가 OEIS 수열 A165543 과 일치하는가?

주요 결과

• 논문은 $|s^{-1}(\text{Av}_n(132, 312))|$ 와 $|s^{-1}(\text{Av}_n(132, 231))|$ 에 대해 닫힌 형태의 공식을 제공하며, 둘 다 생성함수 $\frac{1 - 2x - \sqrt{1 - 4x - 4x^2}}{4x}$ 를 가진다.
• 논문은 $m \geq 2$ 에 대해 $|s^{-1}(\text{Av}_n(123\cdots m))|$ 가 단조 증가함을 증명하며, $m=4$ 의 초기 항들을 계산한 데 기반한다.
• 순열 $\theta_{n,k} = (k+1)k(k-1)\cdots 321(k+2)(k+3)\cdots n$ 에 대해, $m$ 개의 피크를 가진 전이의 수는 유효한 후크 구성(configuration)에서 유도된 함수 $V(q_t, j_t)$ 를 포함하는 합성에 대한 합으로 주어진다.
• $s^{-1}(\text{Av}(231, 321))$ 의 생성함수는 $\frac{1}{1 - xC(xC(x))}$ 라는 추측이 제기되며, 여기서 $C(x)$ 는 카탈란 생성함수이다.
• 논문은 브루너가 제기한 문제를 해결하며, $s^{-1}(\text{Av}(132, 312))$ 의 수를 세고 그 전이에 대한 생성함수를 제공한다.
• 전이 집합 $s^{-1}(\text{Av}(\tau^{(1)}, \dots, \tau^{(r)}))$ 가 종종 스스로가 순열 클래스를 이룬다는 것을 입증하며, 새로운 조합적 해석과 항등식을 가능하게 한다.