[논문 리뷰] Stack sorting, trees, and pattern avoidance

Anders Claesson, Sergey Kitaev외 1명|arXiv (Cornell University)|2008. 01. 25.

Genome Rearrangement Algorithms인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 일반화된 패턴 3-1-4-2와 2-41-3을 피하는 순열과 두 스택으로 정렬 가능한 순열 및 평면 맵과 관련된 β(1,0)-트리라 불리는 레이블이 붙은 평면 트리 사이의 전단사 관계를 수립한다. 주요 기여는 트리와 순열 간의 7개의 통계량 간에 직접적인 대응 관계를 설정하여, 패턴을 피하는 순열과 β(1,0)-트리 간의 구조적 연결 고리가 두 스택으로 정렬 가능한 순열보다 더 깊이 있는 것을 드러내는 것이다.

ABSTRACT

Abstract. The subject of pattern avoiding permutations has its roots in computer science, namely in the problem of sorting a permutation through a stack. A formula for the number of permutations of length n that can be sorted by passing it twice through a stack (where the letters on the stack have to be in increasing order) was conjectured by West, and later proved by Zeilberger. Goulden and West found a bijection from such permutations to certain planar maps, and later Cori, Jacquard and Schaeffer presented a bijection from these planar maps to certain labeled plane trees, called β(1, 0)-trees. We show that these labeled plane trees are in one-to-one correspondence with permutations that avoid the generalized patterns 3-1-4-2 and 2-41-3. We do this by establishing a bijection between the avoiders and the trees. This bijection translates 7 statistics on the trees into statistics on the avoiders. Among the statistics involved are ascents, left-to-right minima and right-toleft maxima for the permutations, and leaves and the rightmost and leftmost paths for the trees. Moreover, extensive computations of statistics on our avoiders, two-stack sortable permutations and the β(1, 0)-trees suggest that the avoiders are structurally more closely connected to the β(1, 0)-trees—and thus to the planar maps—than two-stack sortable permutations are. In connection with this we give a nontrivial involution on the β(1, 0)-trees, which specializes to an involution on unlabeled rooted plane trees, where it yields interesting results. Lastly, we conjecture the existence of a bijection between avoiders and twostack sortable permutations preserving at least four permutation statistics. 1.

연구 동기 및 목표

• 3-1-4-2와 2-41-3를 피하는 순열과 β(1,0)-트리, 평면 맵과 같은 알려진 조합적 대상 간의 구조적 관계를 명확히 하기.
• 이러한 패턴을 피하는 순열과 β(1,0)-트리 사이에 직접적인 전단사 관계를 수립하고, 두 구조 간의 핵심 통계량을 번역하기.
• 이러한 피하는 순열과 β(1,0)-트리 간의 연결 고리가 두 스택으로 정렬 가능한 순열과의 연결 고리보다 더 본질적인지 조사하기.
• 비자명한 치환을 통해 β(1,0)-트리에서 대칭성을 탐색하고, 이 치환이 무라벨 루트가 있는 평면 트리에 특별히 적용되는 치환으로 특수화됨을 보여주기.
• 피하는 순열과 두 스택으로 정렬 가능한 순열 사이에 최소 네 개의 순열 통계량을 유지하는 전단사 관계가 존재할 것이라는 추측을 제기하기.

제안 방법

• 순열의 구조에서 유도된 재귀적 트리 구축 규칙을 사용하여, 3-1-4-2와 2-41-3를 피하는 순열과 β(1,0)-트리 사이의 전단사를 구성한다.
• 순열의 상승 수, 왼쪽에서 오른쪽으로 최소값, 오른쪽에서 왼쪽으로 최대값 등의 통계량과 트리의 잎, 왼쪽 가장자리/오른쪽 가장자리 경로 등의 통계량 간에 7개의 통계량을 번역한다.
• 기존에 알려진 β(1,0)-트리와 평면 맵, 평면 맵과 두 스택으로 정렬 가능한 순열 간의 연결 고리를 활용하여 구조적 특성을 비교한다.
• β(1,0)-트리에 비자명한 치환을 도입하여 트리의 구조를 유지하고, 이 치환이 무라벨 루트가 있는 평면 트리에 특수화됨을 보인다.
• 피하는 순열, 두 스택으로 정렬 가능한 순열, β(1,0)-트리에 대한 광범위한 통계 계산을 수행하여 분포 패턴을 비교하고 구조적 유사성을 유추한다.
• 피하는 순열과 두 스택으로 정렬 가능한 순열 사이에 최소 네 개의 순열 통계량을 유지하는 전단사 관계가 존재할 것이라는 추측을 수립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 3-1-4-2와 2-41-3를 피하는 순열과 β(1,0)-트리 사이에 직접적인 조합적 전단사 관계가 존재하는가?
• RQ2 순열의 상승 수, 왼쪽에서 오른쪽으로 최소값, 오른쪽에서 왼쪽으로 최대값 등의 통계량이 β(1,0)-트리의 잎과 경로 구조 등의 통계량과 어떻게 대응하는가?
• RQ3 패턴을 피하는 순열은 두 스택으로 정렬 가능한 순열보다 β(1,0)-트리(따라서 평면 맵)와 더 구조적으로 유사한가?
• RQ4 β(1,0)-트리에 비자명한 치환을 정의할 수 있는가? 이 치환은 트리의 구조를 유지하고, 무라벨 루트가 있는 평면 트리에 의미 있는 대칭성을 제공하는가?
• RQ5 피하는 순열과 두 스택으로 정렬 가능한 순열 사이에 최소 네 개의 순열 통계량을 유지하는 전단사 관계가 존재하는가?

주요 결과

• 3-1-4-2와 2-41-3를 피하는 순열과 β(1,0)-트리 사이에 직접적인 전단사 관계가 수립되었으며, 이는 구조적 동치성을 확인한다.
• 순열의 상승 수, 왼쪽에서 오른쪽으로 최소값, 오른쪽에서 왼쪽으로 최대값과 트리의 잎, 왼쪽 가장자리 경로, 오른쪽 가장자리 경로 등의 7개의 통계량이 전단사 관계 하에서 정확히 대응됨을 입증하였다.
• 통계 계산 결과, 패턴을 피하는 순열이 두 스택으로 정렬 가능한 순열보다 β(1,0)-트리와 더 구조적으로 유사하다는 것이 나타났다.
• 비자명한 치환을 통해 β(1,0)-트리에 대해 새로운 치환을 구성하였으며, 이는 무라벨 루트가 있는 평면 트리에 특수화되어 의미 있는 대칭성을 제공한다. 이는 새로운 조합적 통찰을 제공한다.
• 논문은 피하는 순열과 두 스택으로 정렬 가능한 순열 사이에 최소 네 개의 순열 통계량을 유지하는 전단사 관계가 존재할 것이라는 추측을 제기하며, 더 깊이 있는 기초 연결 고리를 시사한다.