[논문 리뷰] Stackable groups, tame filling invariants, and algorithmic properties of groups

Mark Brittenham, Susan Hermiller|arXiv (Cornell University)|2011. 09. 28.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 18인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 유한 생성 군에서 캐논리컬 유한 표현에 대한 반 캄펜 다이어그램의 효과적이고 귀납적인 구성이 가능한 조합 구조를 가진 스택형 군(stactable groups)의 개념을 도입한다. 이는 '산들산들함'(hilliness)을 캡처하는 보다 정교한 점근적 불변량인 내재적 및 외재적 온전한 채움 부등식을 정의하며, 이들이 리프시츠 동치까지의 등장에 대해 준위상 등장 불변량임을 증명한다. 주요 기여는 스택형성에 의해 알고리즘적 성질, 재작성 체계, 거의 볼록성 등이 통합된 프레임워크를 제공하는 것으로, 톰슨 군 F, 바움슬라그-솔리터 군, 균일 기하학을 가진 3차원 다각형 군 등 다양한 군에 적용된다.

ABSTRACT

We introduce a combinatorial property for finitely generated groups called stackable that implies the existence of an inductive procedure for constructing van Kampen diagrams with respect to a canonical finite presentation. We also define algorithmically stackable groups, for which this procedure is an effective algorithm. This property gives a common model for algorithms arising from both rewriting systems and almost convexity for groups. We also introduce a new pair of asymptotic invariants that are filling inequalities refining the notions of intrinsic and extrinsic diameter inequalities for finitely presented groups. These tame filling inequalities are quasi-isometry invariants, up to Lipschitz equivalence of functions (and, in the case of the intrinsic tame filling inequality, up to choice of a sufficiently large set of defining relators). We show that radial tameness functions are equivalent to the extrinsic tame filling inequality condition, and so intrinsic tame filling inequalities can be viewed as the intrinsic analog of radial tameness functions. We discuss both intrinsic and extrinsic tame filling inequalities for many examples of stackable groups, including groups with a finite complete rewriting system, Thompson's group F, Baumslag-Solitar groups and their iterates, and almost convex groups. We show that the fundamental group of any closed 3-manifold with a uniform geometry is algorithmically stackable using a regular language of normal forms.

연구 동기 및 목표

• 유한 생성 군에 대해 귀납적이고 알고리즘적인 반 캄펜 다이어그램 구성이 가능한 새로운 조합 구조인 스택형성(stackability)을 정의하는 것.
• 반 캄펜 다이어그램의 '산들산들함'을 측정하는 보다 정교한 점근적 불변량인 내재적 및 외재적 온전한 채움 부등식을 도입하는 것. 이는 단순한 직경 한계를 넘어서는 것이다.
• 이러한 온전한 채움 부등식이 리프시츠 동치까지의 등장에 대해 준위상 등장 불변량임을 보이는 것. 이는 군 불변량에 대한 강력한 기하학적 프레임워크를 제공한다.
• 유한 완전 재작성 체계와 거의 볼록성 등 기존의 알고리즘적 및 기하학적 구성들을 스택형 군의 단일 틀 안에서 통합하는 것.
• 균일 기하학을 가진 모든 닫힌 3차원 다각형의 기본군이 정규 형태의 정규 언어를 사용하여 알고리즘적으로 스택형임을 보이는 것.

제안 방법

• 반 캄펜 다이어그램 내에서 관계자들을 귀납적으로 교체할 수 있도록 캐일리 그래프 위의 조합 조건과 정규 형태 집합을 통해 스택형 군을 정의하는 것.
• 반 캄펜 다이어그램과 호모토피를 짝지어 주는 콤브 채움(combed fillings)을 도입하여, 기저점으로부터의 거리의 거칠은 통제를 통해 온전한 채움 부등식을 정의하는 것.
• 내재적 및 외재적 온전한 채움 부등식이 거칠은 거리 함수를 사용하여 다이어그램 내에서 피크 높이와 산들산들함을 측정함으로써, 고전적 직경 부등식을 정교화하는 것.
• 온전한 채움 부등식이 리프시츠 제어된 호모토피 경로와 다이어그램 교체를 사용하여 준위상 등장 불변량임을 증명하는 것.
• 유한 완전 재작성 체계를 갖는 군, 톰슨 군 F, 반복적 바움슬라그-솔리터 군, 해소적 바움슬라그-솔리터 군 등 주요 군 클래스에 대해 명시적인 스택형 성격을 구성하는 것.
• 균일 기하학을 가진 모든 닫힌 3차원 다각형 군의 기본군이 정규 언어의 정규 형태를 갖으며, 따라서 알고리즘적으로 스택형임을 보이는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 다양한 군 클래스, 특히 재작성 체계와 거의 볼록성의 성질을 가진 군들에 대해 반 캄펜 다이어그램의 알고리즘적 구성 모델링을 위한 통합된 조합적 프레임워크를 개발할 수 있는가?
• RQ2 반 캄펜 다이어그램의 '산들산들함'은 내재적 및 외재적 직경 함수를 넘어서 어떻게 정량화할 수 있으며, 이를 캡처하는 기하학적 불변량은 무엇인가?
• RQ3 제안된 온전한 채움 부등식은 준위상 등장에 대해 불변인가? 만약 그렇다면, 어떤 동치 관계까지인가?
• RQ4 브리드슨과 라일리의 반경적 온전한 성격 함수와 새로운 내재적 온전한 채움 부등식 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ5 균일 기하학을 가진 기하학적 군들, 예를 들어 3차원 다각형 군 등, 알고리즘적으로 스택형 성격을 갖는 군 클래스는 무엇인가?

주요 결과

• 스택형 군은 항등원을 나타내는 단어에 대해 반 캄펜 다이어그램을 효과적이고 귀납적으로 구성할 수 있으며, 알고리즘적으로 스택형 군은 단어 문제를 해결 가능하다.
• 내재적 및 외재적 온전한 채움 부등식은 리프시츠 동치까지의 등장에 대해 준위상 등장 불변량이므로, 강력한 기하학적 불변량이다.
• 브리드슨과 라일리의 반경적 온전한 성격 함수는 외재적 온전한 채움 부등식 조건과 동치이며, 이는 존재하는 불변량과 새로운 불변량 사이의 기하학적 연결을 확립한다.
• 유한 완전 재작성 체계를 갖는 군, 톰슨 군 F, 반복적 바움슬라그-솔리터 군은 모두 스택형이며, 그들의 온전한 채움 불변량은 명시적으로 유계로 제한될 수 있다.
• 균일 기하학을 가진 모든 닫힌 3차원 다각형 군의 기본군은 정규 언어의 정규 형태를 갖으며, 따라서 알고리즘적으로 스택형이다.
• 다이어그램 교체와 호모토피 끌기 방식을 통한 콤브 채움의 구성은, 2-셀의 교체 동안 외재적 온전함이 유지되며, 이에 대한 유계는 원래의 온전한 채움 함수에 의해 제어된다.