[논문 리뷰] Stacks of cyclic covers of projective spaces

Alessandro Arsie, Angelo Vistoli|ArXiv.org|2003. 01. 02.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 3인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 브라우어-세버리 스킴의 균일 순환 피복의 스택을 도입하고 연구하며, 이들이 표현의 열린 부분집합의 몫 스택으로서 실현될 수 있음을 보여준다. 매끄러운 균일 순환 피복을 매개하는 열린 부분스택의 정수 피카르 군을 순환군으로 계산하였으며, 이는 이중 피복으로서의 초타원곡선과 K3 표면에 대한 기존 결과를 일반화한다. 순서 $ r(rd-1)^n \gcd(d,n+1) $ 에 해당한다.

ABSTRACT

We define stacks of uniform cyclic covers of Brauer-Severi schemes, proving that they can be realized as quotient stacks of open subsets of representations, and compute the Picard group for the open substacks parametrizing smooth uniform cyclic covers. Moreover, we give an analogous description for stacks parametrizing triple cyclic covers of Brauer-Severi schemes of rank 1, which are not necessarily uniform, and give a presentation of the Picard group for substacks corresponding to smooth triple cyclic covers.

연구 동기 및 목표

• 브라우어-세버리 스킴의 균일 순환 피복 스택을 몫 스택으로서 정의하고 연구한다.
• 매끄러운 균일 순환 피복을 매개하는 열린 부분스택의 정수 피카르 군을 계산한다.
• 프로젝티브 직선의 비균일 삼중 순환 피복으로 프레임워크를 확장한다.
• 이중도수 계산을 통해 매끄러운 삼중 순환 피복 스택의 피카르 군을 완전히 기술한다.
• 군 작용과 에퀴바리언트 기하학을 이용해 곡선과 K3 표면의 모듈리에 대한 이전 결과를 일반화한다.

제안 방법

• μ_r-작용과 층 분해를 통한 균일 순환 피복의 범주론적 프레임워크를 사용한다.
• 스택을 표현 공간의 열린 부분집합 U와 일반선형군 및 곱셈군의 곱인 G에 대한 몫 스택 [U/G]로 표현한다.
• 키르와노의 절차를 적용하여 매끄러운 부분의 자연스러운 컴actification을 제안한다.
• 에퀴바리언트 초우링 기법과 프로젝티브 스페이스에서의 이중도수 계산을 사용하여 교차류를 계산한다.
• 삼중 피복의 경우 파르디니의 감소된 빌딩 자료와 미리의 이론을 사용하여 비균일 케이스를 분석한다.
• 판별식과 소멸 위치의 차수를 직접 계산하여 피카르 군 내의 관계를 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 브라우어-세버리 스킴의 균일 순환 피복 스택은 어떻게 몫 스택으로 기술할 수 있는가?
• RQ2 매끄러운 균일 순환 피복 스택의 정수 피카르 군의 구조는 어떠한가?
• RQ3 이 프레임워크는 프로젝티브 직선의 비균일 삼중 순환 피복으로 확장될 수 있는가?
• RQ4 P^1 위의 매끄러운 삼중 순환 피복 스택의 피카르 군은 무엇인가?
• RQ5 판별식과 소멸 위치의 이중도수는 피카르 군 계산에 어떻게 기여하는가?

주요 결과

• 차원 n인 브라우어-세버리 스킴 위에서 차수 r인 매끄러운 균일 순환 피복의 스택 $\mathcal{H}_{\mathrm{sm}}(n,r,d)$ 는 표현의 열린 부분집합 U와의 몫 스택 [U/G] 와 동형이다.
• 스택 $\mathcal{H}_{\mathrm{sm}}(n,r,d)$ 의 정수 피카르 군은 순환군으로서 순서 $ r(rd-1)^n \gcd(d,n+1) $ 을 갖는다.
• 성별 g인 초타원곡선의 경우, $\mathcal{H}_g$ 의 피카르 군은 g 가 짝수이면 순환군으로서 순서 $2(2g+1)$, 홀수이면 $4(2g+1)$ 이다.
• P^1 위의 매끄러운 삼중 순환 피복 스택 $\mathcal{H}_{\mathrm{sm}}(1,3;d_1,d_2)$ 도 몫 스택이며, 이중도수 관계를 통한 피카르 군의 표현을 갖는다.
• 스택 $\mathcal{H}_{\mathrm{sm}}(1,3;d_1,d_2)$ 의 피카르 군은 판별식과 소멸 위치에서 유도된 세 개의 관계로 생성되며, 이중도수는 $d_1$과 $d_2$의 기수성에 따라 명시적으로 결정된다.
• 계산 결과, $d_1$ 이 홀수일 때 판별식 초곡면 $\Delta_1$ 의 계열은 $2(2d_1 - d_2 - 1)v_1 - (d_2 + 2)(2d_1 + d_2 - 1)v_2$ 이며, $d_1$과 $d_2$ 가 모두 짝수일 때는 $2(2d_1 - d_2 - 1)v_1 - 4(2d_1 - d_2 - 1)v_2$ 가 된다.