[논문 리뷰] Stacks of ramified Galois covers

Fabio Tonini|arXiv (Cornell University)|2013. 07. 03.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 3인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 유한 군 스킴에 대한 분지된 갈루아 코버의 스택을 다루며, 비아벨 군인 $\mu_3 \rtimes \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$와 $S_3$에 대한 $G$-Cov 스택의 구조에 초점을 맞춘다. $G$-Cov가 대수적이고 유한 생성임을 증명하며, 표면에 대한 $S_3$-코버에 대해 기하학적 및 코homological 불변량을 명시적으로 제공한다. 이는 기저 표면과 관련 벡터(bundle)의 불변량으로 표현된 $K_X^2$, $\chi(\mathcal{O}_X)$, $p_g(X)$의 공식 포함.

ABSTRACT

Given a finite, flat and finitely presented group scheme $G$ over some base $S$, we introduce the notion of ramified $G$-covers and study the moduli stack $G$-Cov they form. The thesis is divided in three parts. The first one concerns the case when $G$ is a diagonalizable group scheme and it essentially coincides with arxiv:1106.2347. In the second part I deal with the general case. Assuming that the base S is affine and given an $S$-scheme $T$, I interpret $G$-covers of $T$ as particolar (lax) monoidal functors from the category of finite, $G$-equivariant locally free sheaves over $S$ to the category of finite locally free sheaves over $T$, extending the classical Tannakian correspondence between $G$-torsors and strong monoidal functors as above. Using this point of view, I prove that $G$-Cov is always reducible if $G$ is a non-abelian linearly reductive group. When $G$ is constant and tame I also give a criterion to detect when a $G$-cover of a regular in codimension one, integral scheme has regular in codimension one total space in terms of the functor associated with the cover. In the last part I focus on the case $G=S_3$, prove that $S_3$-Cov has exactly two irreducible components and describe the principal one. I also describe particular open loci of $S_3$-Cov, that is particular families of $S_3$-covers, classify $S_3$-covers of regular schemes whose total space is regular and compute the invariants of $S_3$-covers of smooth surfaces.

연구 동기 및 목표

• 유한 평탄 군 스킴 $G$에 대한 $G$-Galois 코버의 스택 $G$-Cov의 대수적 및 기하학적 구조를 기술하는 것.
• 기존의 아벨 군(예: $\mu_n$)에 대한 $G$-코버 기술을 비아벨 군, 특히 $S_3$와 $\mu_3 \rtimes \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$로 확장하는 것.
• 표면에 대한 $S_3$-코버에 대해 $K_X^2$, $\chi(\mathcal{O}_X)$, $p_g(X)$와 같은 명시적 불변량을 기저 표면의 자료로 표현하는 것.
• 특히 코디멘션 1에서의 스택 $G$-Cov의 기약 성분과 정규성 성질을 분석하는 것.
• 스택 $G$-Cov가 기저 스킴 $S$ 위에서 대수적이고 유한 생성임을 확립하는 것.

제안 방법

• 스택과 대수기하학의 프레임워크를 사용하여, $f: X \to Y$가 유한하고 평탄하며 $G$-불변인 사상이며, $f_*\mathcal{O}_X$가 comodule로서 정규 표현 $\mathcal{O}_Y[G]$와 국소적으로 동형이 되는 $G$-코버를 정의한다.
• 대각선적 군 스킴 이론과 $M$-gradation 대수를 적용하여 $\textup{D}(M)$-코버를 기술하며, 특히 $M = \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$의 경우를 다룬다.
• 관련 대수의 생성자 수를 기반으로 코버를 분류하기 위해 $h: |\textup{D}(M)\text{-Cov}| \to \mathbb{N}$의 불변량을 사용하며, $h \leq 2$에 집중한다.
• 벡터 번들의 $\mathcal{F}$와 사상 $\delta: \det\mathcal{F} \to \mathcal{L}$를 사용한 삼중 코버 구성에 의해 $S_3$-코버를 분석하며, $\alpha$, $\beta$, $\delta$의 비퇴화 조건으로 기하학적 계열을 정의한다.
• 리만-로흐 정리와 층 코homology를 적용하여 $K_X^2$, $\chi(\mathcal{O}_X)$, $p_g(X)$의 공식을 $K_Y$, $c_1(\mathcal{F})$, $c_2(\mathcal{F})$, $\chi(\mathcal{O}_Y)$로 유도한다.
• 도수 2와 3의 코버로 구성된 인수분해 $X \to X' \to Y$를 활용하여, 조임 공식과 $X'$ 위의 교차 이론을 통해 캐논리컬 불변량을 계산한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비아벨 유한 군 스킴인 $S_3$에 대해 스택 $G$-Cov를 대수적이고 기하학적으로 어떻게 묘사할 수 있는가?
• RQ2 기저 표면의 자료로 표현된 $S_3$-표면 코버에 대해 $K_X^2$, $\chi(\mathcal{O}_X)$, $p_g(X)$와 같은 핵심 불변량은 무엇인가?
• RQ3 $S_3$-Cov 스택의 기약 성분은 무엇이며, 기저의 기하학과 관련된 벡터 번들과의 관계는 어떠한가?
• RQ4 특히 $\mu_3 \rtimes \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$-코버의 경우, $G$-코버가 코디멘션 1에서 정규 또는 정규화 가능할 조건은 무엇인가?
• RQ5 스택 $G$-Cov의 구조는 선형적으로 재조합 가능한 군에 대한 등변 층과 모노이드 함자 이론과 어떻게 관련되는가?

주요 결과

• 스택 $G$-Cov는 기저 스킴 $S$ 위에서 대수적이고 유한 생성이며, $\textup{B}G$(즉, $G$-터소르의 스택)는 $G$-Cov의 열린 부분스택이다.
• 표면에 대한 $S_3$-코버의 경우, 캐논리컬 위상수의 제곱 공식은 $K_X^2 = 6K_Y^2 - 8c_1(\mathcal{F})K_Y + 4c_1(\mathcal{F})^2 - 6c_2(\mathcal{F}) - \frac{10}{3}\mu^2 - 4\mu K_Y + 2C^2 + 4CK_{X'}$로 유도되며, 이는 인수분해와 리만-로흐 정리를 기반으로 한다.
• 구조층의 오일러 특성은 $\chi(\mathcal{O}_X) = \chi(\mathcal{O}_Y) + \chi(\mathcal{F}) + \chi(\mathcal{L})$를 만족하며, $\chi(\mathcal{L})$는 $\mu$와 $c_1(\mathcal{F})$를 통해 계산된다.
• 기하학적 종수는 $p_g(X) = p_g(Y) + h^2(\mathcal{F})$로 주어지며, 이는 $X$의 비정규성과 벡터 번들의 $\mathcal{F}$의 코homology와 연결된다.
• 표면에 대한 $S_3$-Cov의 주요 기약 성분 $\mathcal{Z}_{S_3}$는 사상 $\delta: \det\mathcal{F} \to \mathcal{L}$의 비퇴화성과 $\beta: \textup{Sym}^2\mathcal{F} \to \mathcal{F}$의 영이 아님 조건으로 특징지어진다.
• 정규 $S_3$-코버는 관련 삼중 코버가 매끄럽고 기저가 코디멘션 1에서 정규일 때를 뜻하며, 이러한 코버는 $Y$와 $\mathcal{F}$의 불변량으로 표현된 $K_X^2$와 $\chi(\mathcal{O}_X)$에 대한 명시적 공식을 만족한다.