[논문 리뷰] Standard model physics from an algebra?

C. Furey|arXiv (Cornell University)|2016. 11. 16.

Quantum Mechanics and Applications인용 수 46

한 줄 요약

이 논문은 표준 모형의 입자 구성과 게이지 대칭이 네 개의 노름 나눗셈 대수의 텐서곱 ℝ⊗ℂ⊗ℍ⊗𝕆에서 유도된다는 것을 제안한다. 𝕜⊗ℍ 및 𝕜⊗𝕆(여기서 𝕜=ℂ) 내의 일반화된 아이디얼과 최소 왼쪽 아이디얼을 분석함으로써, 이 작업은 로렌츠 표현, SU(3)ₚ 및 U(1)ₑₘ 대칭, 그리고 왼손성 SU(2)ₗ 결합을 포함한 초보적인 전자기약 모형을 도출한다. 핵심 결과는 전기적 전하가 정확하게 반영된 세 개의 쿼크 및 렙톤 세대를 통합적인 대수적 구조로 구성하는 것이다.

ABSTRACT

This thesis constitutes a first attempt to derive aspects of standard model particle physics from little more than an algebra. Here, we argue that physical concepts such as particles, causality, and irreversible time may result from the algebra acting on itself. We then focus on a special case by considering the algebra $\mathbb{R}\otimes\mathbb{C}\otimes\mathbb{H}\otimes\mathbb{O}$. Using nothing more than $\mathbb{R}\otimes\mathbb{C}\otimes\mathbb{H}\otimes\mathbb{O}$ acting on itself, we set out to find standard model particle representations. From the complex quaternionic portion of the algebra, we find generalized ideals, and show that they describe concisely all of the Lorentz representations of the standard model. From the complex octonionic portion of the algebra, we find minimal left ideals, and show that they mirror the behaviour of a generation of quarks and leptons under $su(3)_c$ and $u(1)_{em}$. We then demonstrate a rudimentary electroweak model which yields a straightforward explanation as to why $SU(2)_L$ acts only on left-handed states. This holds in the case of leptons. Finally, we demonstrate how $\mathbb{C}\otimes\mathbb{O}$ can generate a 64-$\mathbb{C}$-dimensional algebra, wherein we find the $SU(3)_c$ irreducible representations corresponding to three generations of quarks and leptons. We then conclude by showing how to arrive at all 48 electric charges.

연구 동기 및 목표

• 입자 물리학의 근본 개념들—예를 들어 입자, 인과성, 시간—이 최소한의 초기 가정을 가진 대수적 구조에서 유도될 수 있는지 탐색하기.
• 표준 모형의 게이지 대칭과 페르미온 표현들이 ℝ⊗ℂ⊗ℍ⊗𝕆 대수에서 유도될 수 있는지 조사하기.
• 전기 전하, 색 전하, 약한 이소스핀이 대수의 단계 연산자와 대칭성에서 자연스럽게 유도되는지 보여주기.
• 옥톤론 섹터를 이용해 정확한 U(1)ₑₘ 전하를 지닌 세 개의 쿼크 및 렙톤 세대를 구성하는 모델을 수립하기.

제안 방법

• ℝ⊗ℂ⊗ℍ⊗𝕆 대수를 사용하여, 𝕜⊗ℍ(𝕜=ℂ) 내의 일반화된 아이디얼을 연구함으로써 표준 모형의 로렌츠 표현을 복원한다.
• 𝕜⊗𝕆(𝕜=ℂ) 내의 최소 왼쪽 아이디얼을 분석하여 SU(3)ₚ 및 U(1)ₑₘ 하에서 변환하는 한 세대의 쿼크와 렙톤을 모델링한다.
• 대칭성이 유일하게 SU(3)ₚ, U(1)ₑₘ, 그리고 SU(2)ₗ×U(1)Y에 대응하는 대수 내의 단계 연산자를 식별한다.
• 𝕜⊗𝕆에서 도출된 SU(3)ₚ의 생성자를 사용하여 64차원 복소수 공간에 작용시켜 페르미온의 세 개의 세대로 분해한다.
• 오른쪽 곱셈과 대수적 켤레 연산자의 유사성을 이용해 왼손성과 오른손성 상태를 구분함으로써, SU(2)ₗ의 치랄 성격을 설명한다.
• 𝕜⊗ℍ 내의 렙톤 부분공간을 구성하여 전자기약 대칭을 모델링하고, SU(2)ₗ이 오직 왼손성 페르미온에만 작용한다는 것을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 표준 모형의 게이지 대칭—SU(3)ₚ, SU(2)ₗ, 그리고 U(1)ₑₘ—이 ℝ⊗ℂ⊗ℍ⊗𝕆의 대수적 구조에서 유일하게 유도될 수 있는가?
• RQ2 전기 전하와 색 전하는 대수적 단계 연산자에서 유도되는 수의 연산자로 어떻게 해석할 수 있는가?
• RQ3 왜 SU(2)ₗ은 오직 왼손성 페르미온에만 작용하는가? 이는 대수적으로 유도될 수 있는가?
• RQ4 𝕜⊗𝕆의 대수적 구조가 정확한 U(1)ₑₘ 전하를 지닌 세 개의 쿼크 및 렙톤 세대를 생성할 수 있는가?
• RQ5 로렌츠 대칭, 풍미 대칭, 게이지 대칭을 통합하는 체계적인 대수적 메커니즘이 존재하는가?

주요 결과

• 𝕜⊗ℍ(𝕜=ℂ) 내의 일반화된 아이디얼은 표준 모형의 모든 로렌츠 표현을 재현하며, 웨일, 디рак, 메조나나 스피너를 포함한다.
• 𝕜⊗𝕆(𝕜=ℂ) 내의 최소 왼쪽 아이디얼은 SU(3)ₚ 및 U(1)ₑₘ 하에서 변환하는 한 세대의 쿼크와 렙톤을 모델링하며, 전기 전하는 수의 연산자로 나타난다.
• 렙톤 부분공간 내의 단계 연산자의 대칭 대수는 유일하게 SU(2)ₗ 및 U(1)Y를 생성하며, 오른쪽 곱셈의 대수적 구조로 인해 SU(2)ₗ이 오직 왼손성 상태에만 작용한다.
• 𝕜⊗𝕆가 스스로에 작용할 때 64차원 복소수 공간이 생성되며, 이는 SU(3)ₚ 하에서 세 개의 세대로 분해된다.
• SU(3)ₚ 표현 구조를 연장함으로써, 세 개의 세대에 걸친 모든 48개의 페르미온 U(1)ₑₘ 전하를 재현한다.
• 대수 ℝ⊗ℂ⊗ℍ⊗𝕆는 게이지 대칭, 입자 표현, 전하 양자화가 모두 내재된 대수적 성질에서 유도되며, 수시적인 가정 없이 통합적인 프레임워크를 제공한다.