[논문 리뷰] Stanley-Reisner rings for symmetric simplicial complexes, G-semimatroids and Abelian arrangements

Alessio D’Alì, Emanuele Delucchi|arXiv (Cornell University)|2021. 01. 01.

Advanced Combinatorial Mathematics참고 문헌 48인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 유 endo-정수환 이론을 군 작용을 갖는 유한 길이의 단순형 포스셋과 G-세미매트로이드로 확장한다. 특히, 유한 길이의 단순형 포스셋에 대한 군 작용을 도입하고, 이에 따라 이동적 군 작용 하에서의 불변환은 몫 포스셋의 Stanley-Reisner 환과 동형임을 증명한다. 또한, 특성 0 및 δ를 나누지 않는 모든 특성에서 몫이 Cohen–Macaulay가 되는 조건을 설정한다. 여기서 δ는 명시적으로 계산 가능한 불변량이다. 이 결과들은 아벨 배열, 즉 토릭, 타원, (p,q)-배열에 적용되며, h다항식과 베텨 수는 군 작용의 Tutte 다항식에 의해 결정된다.

ABSTRACT

We extend the notion of face rings of simplicial complexes and simplicial posets to the case of finite-length (possibly infinite) simplicial posets with a group action. The action on the complex induces an action on the face ring, and we prove that the ring of invariants is isomorphic to the face ring of the quotient simplicial poset under a mild condition on the group action. We also identify a class of actions on simplicial complexes that preserve the homotopical Cohen-Macaulay property under quotients. 
 
 When the acted-upon poset is the independence complex of a semimatroid, the h-polynomial of the ring of invariants can be read off the Tutte polynomial of the associated group action. Moreover, in this case an additional condition on the action ensures that the quotient poset is Cohen--Macaulay in characteristic 0 and every characteristic that does not divide an explicitly computable number. This implies the same property for the associated Stanley--Reisner rings. In particular, this holds for independence posets and rings associated to toric, elliptic and, more generally, (p,q)-arrangements. 
 
 As a byproduct, we prove that posets of connected components (also known as posets of layers) of such arrangements are Cohen-Macaulay with the same condition on the characteristic.

연구 동기 및 목표

• 유한 길이의 단순형 포스셋에 군 작용을 도입하여 Stanley–Reisner 환 이론을 일반화함. 특히, 포스셋과 군이 무한일 수 있는 경우를 포함한다.
• 군 작용이 몫 포스셋이 여전히 단순형이 되고, 불변환의 환과 몫 포스셋의 Stanley–Reisner 환 간에 동형이 성립하는 조건을 규명한다.
• 특성 0 및 주어진 정수 δ를 나누지 않는 모든 특성에서 몫 포스셋과 관련된 Stanley–Reisner 환이 Cohen–Macaulay가 되는 조건을 규명한다.
• 토릭, 타원, (p,q)-배열을 포함한 아벨 배열에 이 이론을 적용하여, 그 위상적·대수적 불변량이 군 작용의 Tutte 다항식과 연결됨을 보인다.

제안 방법

• 유한 길이의 단순형 포스셋 P에 대해 R(P)를 정의함으로써, Stanley–Reisner 환의 일반화를 도입한다.
• 단순형 포스셋에 대한 이동적 군 작용을 정의하고, 이러한 작용이 몰입된 포스셋 P/G의 단순형 구조를 유지함을 증명한다.
• 이동적 작용 하에서 불변환 R(P)^G와 몰입된 포스셋의 Stanley–Reisner 환 R(P/G) 사이의 동형을 확립한다.
• 더 강력한 조건을 가진 '정밀화된' 작용(이동성보다 강함)을 도입하고, 이러한 작용 하에서 몰입된 포스셋이 특성 0 및 δ를 나누지 않는 모든 특성에서 Cohen–Macaulay임을 증명한다.
• Bredon의 보조정리를 사용하여 특성 제약 조건을 유도하고, 몰입된 환의 h다항식이 군 작용의 Tutte 다항식과 연결됨을 보인다.
• 유니버설 커버에서의 주기적 배열로 (p,q)-배열을 올리고, 층의 포스셋이 기하학적 반순서집합임을 보여 이 틀을 (p,q)-배열에 적용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 군 작용 하에서 단순형 포스셋의 몫이 다시 단순형 포스셋이 되는 조건은 무엇인가?
• RQ2 군 작용 하에서 Stanley–Reisner 환의 불변환과 몰입된 포스셋의 Stanley–Reisner 환 간에 동형이 성립하는 조건은 무엇인가?
• RQ3 특성 0 및 주어진 정수 δ를 나누지 않는 모든 특성에서 몰입된 포스셋과 관련된 Stanley–Reisner 환이 Cohen–Macaulay가 되는 조건은 무엇인가?
• RQ4 몰입된 환의 h다항식과 베텨 수는 군 작용의 Tutte 다항식과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ5 이 결과들은 토릭, 타원, (p,q)-배열을 포함한 아벨 배열에 대해 어느 정도 일반화되는가?

주요 결과

• 유한 길이의 단순형 포스셋 P에 대해 임의의 이동적 군 작용에 대해 불변환 R(P)^G는 R(P/G)와 동형이다.
• 군 작용이 분리 가능하고 군이 아벨일 경우, 몰입된 포스셋 P/G는 호모토피 Cohen–Macaulay이다.
• 세미매트로이드에 대한 정밀화된 작용 하에서, 몰입된 포스셋 P/G는 특성 0 및 δ를 나누지 않는 모든 특성에서 Cohen–Macaulay이다. 여기서 δ는 명시적으로 계산 가능한 정수이다.
• R(P/G)의 h다항식은 Lemma 8.8.(i)에 의해 작용의 Tutte 다항식을 평가함으로써 주어진다.
• 모든 아벨 배열 A의 층의 포스셋 C(A)는 특성 0 및 δSA를 나누지 않는 모든 특성에서 Cohen–Macaulay이다. 여기서 δSA는 작용으로부터 계산 가능한 값이다.
• (p,q)-배열 A에 대해, Stanley–Reisner 환 R(A)는 주기적 배열 A^æ의 불변환과 동형이며, 그 h다항식은 작용의 Tutte 다항식에 의해 결정된다.