[논문 리뷰] Stanley-Wilf limits are typically exponential

Jacob Fox|arXiv (Cornell University)|2015. 01. 01.

Advanced Combinatorial Mathematics참고 문헌 30인용 수 60

한 줄 요약

이 논문은 길이 k인 치환에 대해 스탠리-윌프 한계가 Θ(k²)로 증가한다는 오랫동안 지속된 추측을 반증한다. 확률론적 및 극값 조합론을 사용하여, k개의 문자로 이루어진 거의 모든 치환 π에 대해 스탠리-윌프 한계 L(π)가 2^{k^{Θ(1)}}로 증가함을 보이며, 이는 이차함수보다 지수적으로 빠른 증가를 의미한다. 이는 치환 패턴 회피 이론에서 핵심적인 열린 문제를 해결한다.

ABSTRACT

For a permutation $\pi$, let $S_{n}(\pi)$ be the number of permutations on $n$ letters avoiding $\pi$. Marcus and Tardos proved the celebrated Stanley-Wilf conjecture that $L(\pi)= \lim_{n o \infty} S_n(\pi)^{1/n}$ exists and is finite. Backed by numerical evidence, it has been conjectured by many researchers over the years that $L(\pi)=\Theta(k^2)$ for every permutation $\pi$ on $k$ letters. We disprove this conjecture, showing that $L(\pi)=2^{k^{\Theta(1)}}$ for almost all permutations $\pi$ on $k$ letters.

연구 동기 및 목표

• 길이 k인 모든 치환 π에 대해 스탠리-윌프 한계가 Θ(k²)로 증가한다는 추측을 해결하기 위해.
• 랜덤 치환 π의 길이 k에 대해 Sₙ(π)¹ᐟⁿ의 渐近적 증가율, 즉 스탠리-윌프 한계 L(π)을 조사하기 위해.
• 이차함수 증가 추측이 k개의 문자로 이루어진 일반적인 또는 일반적인 치환 π에 대해 성립하는지 여부를 규명하기 위해.
• 스탠리-윌프 한계의 진정한 일반적인 행동을 반영하는 L(π)에 대한 새로운 渐近적 경계를 설정하기 위해.

제안 방법

• 길이 k인 랜덤 치환 π의 구조를 분석하기 위해 확률론적 방법을 적용하기 위해.
• 주어진 패턴 π를 피하는 치환의 수를 제한하기 위해 극값 조합론을 사용하기 위해.
• praticularly 큰 c > 0에 대해, 거의 모든 π에 대해 성장률 L(π)가 2^{k^{c}} 이하로 유계임을 증명하기 위해.
• Marcus-Tardos 정리의 활용으로, L(π) = lim Sₙ(π)¹ᐟⁿ의 존재성과 유한성을 보장하기 위해.
• Sₙ(π)의 지수적 크기 순서를 분석하여 L(π)의 渐近적 행동을 유도하기 위해.
• 이차함수 추측이 긍정적인 밀도를 가진 치환들에 대해 실패하며, 실제로 k가 증가함에 따라 거의 모든 치환들에 대해 실패함을 보여주기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 길이 k인 모든 치환 π에 대해 스탠리-윌프 한계 L(π)이 Θ(k²)로 증가하는가?
• RQ2 k개의 문자로 이루어진 모든 치환 π에 대해 L(π)의 일반적인 증가율은 무엇인가?
• RQ3 이차함수 증가 추측은 거의 모든 치환으로 확장될 수 있는가, 아니면 일반적으로 실패하는가?
• RQ4 k 길이의 모든 치환에서 균일하게 랜덤으로 선택된 π에 대해 L(π)의 정확한 渐近적 크기 순서는 무엇인가?
• RQ5 랜덤 π에 대해 Sₙ(π)의 지수적 증가가 L(π)의 극한에 어떻게 影향을 미치는가?

주요 결과

• k개의 문자로 이루어진 모든 치환 π에 대해 L(π) = Θ(k²)라는 추측은 틀리다.
• k개의 문자로 이루어진 거의 모든 치환 π에 대해 스탠리-윌프 한계는 L(π) = 2^{k^{Θ(1)}}를 만족하며, 이는 초다항적이지만 지수함수 이하의 증가를 의미한다.
• 일반적인 치환에 대해 L(π)의 증가율은 이차함수보다 훨씬 크며, 이는 널리 퍼져 있는 수치적 증거와 직관과 정면으로 배치된다.
• 이 결과는 일반적인 스탠리-윌프 한계가 k의 어떤 다항식보다도 더 빠르게 증가하지만, k에 대해 지수함수보다 느리게 증가함을 보여준다.
• 증명은 이차함수 추측이 긍정적인 밀도의 치환들에 대해 실패하며, 실제로 k가 증가함에 따라 거의 모든 치환들에 대해 실패함을 보여준다.
• L(π)의 渐近적 행동은 랜덤 치환의 극값적 구조에 의해 결정되며, 이는 이전에 예상된 것보다 훨씬 더 빠른 증가를 이끈다.