[논문 리뷰] Star Product Reduction for Coisotropic Submanifolds of Codimension 1

Peter Gloessner|ArXiv.org|1998. 05. 11.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 15인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 위상공간 내 codimension-1의 coisotropic 부분다양체에 대한 별곱(star product)에 대해 대칭성이나 군 작용을 요구하지 않는 구조적 감소 절차를 제안한다. 단일 제약 함수를 사용하여 감소된 별곱을 명시적으로 계산하며, 동일한 부분다양체를 위한 서로 다른 제약 함수가 서로 다른 감소된 별곱을 유도함을 보여주어 제약 함수의 선택에 대한 의존성을 강조한다.

ABSTRACT

We propose a reduction procedure that leads to a reduced star product on the reduced phase space of a `First Class'-constrained system, where no symmetries, group actions or the like are present. For the case that the coisotropic submanifold has codimension 1, we establish a constructive method to compute the reduced star product explicitly. Concluding examples show that this method depends crucially on the constraint function singled out to describe the constrained submanifold and not only on this submanifold itself, and that two different constraint functions for the same constraint submanifold will generally result in not only different but inequivalent reduced star products.

연구 동기 및 목표

• 군 작용이나 대칭성을 요구하지 않고 codimension-1 coisotropic 부분다양체 위의 별곱에 대한 감소 절차를 개발하는 것.
• 제약된 위상공간 위에서 감소된 별곱을 명시적으로 계산할 수 있는 방법을 수립하는 것.
• 제약 함수의 선택이 결과로 얻어지는 감소된 별곱에 미치는 영향을 조사하는 것.
• 동일한 부분다양체를 기술하는 서로 다른 제약 함수로부터 상이한 별곱이 유도될 수 있음을 보여주는 것.
• 오직 제약 함수만을 사용하여 제1종 제약 시스템에서의 별곱 감소를 위한 프레임워크를 제공하는 것.

제안 방법

• 해법은 codimension-1 coisotropic 부분다양체를 정의하는 제약 함수로부터 직접 감소된 별곱을 구성한다.
• 형식적 변형 양자화 접근법을 사용하여 감소된 공간 위의 별곱을 유도한다.
• 대칭군이나 운동량 맵 조건을 요구하지 않는다.
• 해법은 부분다양체 자체가 아니라 특정 제약 함수의 선택에 의존한다.
• 변형 매개수의 차수까지의 별곱 계수를 결정하기 위해 재귀적 방정식계를 푸는 절차를 포함한다.
• 해법은 명시적이고 알고리즘적인 방식이어서 감소된 별곱을 단계별로 계산할 수 있다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 군 대칭성이나 운동량 맵을 요구하지 않고 codimension-1 coisotropic 부분다양체 위의 별곱을 어떻게 감소시킬 수 있는가?
• RQ2 제약 함수에 대해 감소된 별곱의 명시적 형태는 무엇인가?
• RQ3 동일한 부분다양체를 기술할 때 제약 함수의 선택이 결과로 얻어지는 감소된 별곱에 영향을 미치는가?
• RQ4 동일한 coisotropic 부분다양체에 대해 서로 다른 제약 함수로부터 상이한 별곱이 유도될 수 있는가?
• RQ5 제약 함수는 감소된 별곱의 대수적 구조를 결정하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 감소된 별곱은 coisotropic 부분다양체를 정의하는 특정 제약 함수에 의해 결정되며, 부분다양체 자체에 의해 결정되지 않는다.
• 동일한 coisotropic 부분다양체를 기술하는 서로 다른 제약 함수는 일반적으로 상이한 감소된 별곱을 유도한다.
• 감소 절차는 codimension-1 coisotropic 부분다양체에 대해 구조적이고 명시적으로 계산 가능한 방법이다.
• 해법은 대칭성이나 군 작용을 요구하지 않아 일반적인 제1종 제약 시스템에 적용 가능하다.
• 절차는 제약 함수의 선택과 감소된 공간 위의 변형 양자화 결과 사이에 직접적인 연결을 수립한다.
• 결과적으로 감소가 유일하지 않으며, 제약 표면의 매개변수화에 민감함을 보여준다.