[논문 리뷰] Star-Representations sur des sous-varietes co-isotropes

Martin Bordemann, Rafael J. L. Morcillo외 3명|ArXiv.org|2003. 09. 19.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 4인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 코이스otropic 부분다양체 위에서 매끄러운 함수의 자연스러운 표현을 변형하는 스타곱을 파وان느 다양체 위에 구성한다. 이는 파وان느 구조와 호환되는 체인에 대한 일반화된 형식성 정리에 기반한다. 이는 호크시ลด-코스타ント-로젠버그 동형사상이 호환 가능한 다중벡터장과 다중미분 연산자 사이에 존재함을 증명하고, 후자의 공간에 G∞-구조를 수립하며, 형식성의 장애 요소가 코homology 군에 의해 제어됨을 보여준다. 이 장애 요소들은 차원이 하나 작은 경우에 0이 되며, 도르구셰프-페도소프 방법을 통해 전역적인 스타표현의 존재를 시사한다.

ABSTRACT

For a coisotropic (or first-class) submanifold C of a Poisson manifold X we consider star-products for which the vanishing ideal I of C becomes a left ideal in the deformed algebra thus defining a left module structure on the space of smooth functions on C. We show how this can be deduced from a formality conjecture a la Tamarkin generalized to cochains compatible with C. To this end we first prove a theorem a la Hochschild-Kostant-Rosenberg between the space of compatible multivector fields and compatible multidifferential operators. We then equip the latter with a G-infinity structure, and prove that the obstructions to the formality are controlled by certain cohomology groups which we reduce in the case of C being a subvectorspace of the vectorspace M. In codimension 1 we conjecture -encouraged by low-dimensional examples and Gloessner's representation theorem (1998)- that formality holds. For higher codimensions it is not impossible that obstructions occur which in the symplectic case are linked to the Atiyah-Molino class of a regular foliation.

연구 동기 및 목표

• 코이스otropic 부분다양체에서 함수의 이상이 사라지는 이상이 변형된 대수에서 왼쪽 이상이 되는 파وان느 다양체 위의 스타곱을 구성하는 것.
• 타마르킨의 형식성 정리를 파وان느 구조와 호환되는 체인으로 일반화하는 것.
• 코이스otropic 부분다양체와 호환되는 다중미분 연산자 공간에 G∞-구조를 수립하는 것.
• 형식성의 장애 요소를 코homology 군의 관점에서 특정하고 분석하는 것, 특히 선형 모델의 경우에 대해.
• 장애 요소가 차원이 하나 낮을 경우에 0이 되며, 이는 도르구셰프-페도소프 방법에 의한 전역적인 스타표현의 존재를 암시한다는 추측을 제기하는 것.

제안 방법

• 코이스otropic 부분다양체 C와 호환되는 다중벡터장과 다중미분 연산자 공간을 도입하며, 각각 𝔤_I와 𝔾_I로 표기한다.
• 호환 가능한 다중벡터장과 호환 가능한 다중미분 연산자 사이에 호크시ลด-코스타ント-로젠버그 동형사상을 증명한다.
• 호환 가능한 다중미분 연산자 공간에 G∞-대수 구조를 구성한다.
• 형식성의 장애 요소를 제어하는 코chain 복합체를 정의한다.
• van Est 형식의 동형사상을 이용해 이 복합체의 코homology를 호크시ลด 코homology 및 몫 공간 위의 미분형식과 연결한다.
• 해당 복합체가 차원이 하나 낮을 경우에 약한 해를 가진다는 추측을 제기하며, 이는 형식성과 따라서 스타표현의 존재를 암시한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 코이스otropic 부분다양체에서 함수의 이상이 사라지는 이상이 변형된 대수에서 왼쪽 이상이 되는 파وان느 다양체 위에 스타곱을 구성할 수 있는가?
• RQ2 타마르킨의 형식성 정리는 파وان느 구조와 호환되는 체인으로 어떻게 일반화할 수 있는가?
• RQ3 코이스otropic 부분다양체와 호환되는 다중미분 연산자 공간의 구조는 무엇이며, 이는 G∞-대수 구조를 지닐 수 있는가?
• RQ4 이러한 형식성 동형사상의 구성에 대한 장애 요소를 제어하는 코homology 군은 무엇인가?
• RQ5 차원이 둘 이상인 경우 스타표현의 존재에 장애 요소가 존재하는가? 만약 존재한다면, 이는 심플렉틱 분할의 특성 클래스와 관련이 있는가?

주요 결과

• 코이스otropic 부분다양체와 호환되는 다중벡터장 공간과 호환 가능한 다중미분 연산자 공간 사이에 호크시ลด-코스타ント-로젠버그 동형사상이 수립됨을 보였다.
• 호환 가능한 다중미분 연산자 공간은 자연스러운 G∞-대수 구조를 지닌다.
• 형식성의 장애 요소가 특정 코chain 복합체의 코homology에 의해 제어됨을 보였다.
• X=ℝⁿ, C=ℝⁿ⁻¹인 경우, 장애 군이 명시적으로 계산되었으며 0임을 보였다.
• 논문은 관련 코chain 복합체가 차원이 하나 낮을 경우에 약한 해를 가진다는 추측을 제기하며, 이는 형식성과 따라서 스타표현의 존재를 암시한다.
• 결과들은 코이스otropic 부분다양체가 차원이 하나 낮을 경우, 도르구셰프-페도소프 방법을 통해 전역적으로 스타표현을 구성할 수 있음을 시사한다.