[논문 리뷰] Star-shaped Risk Measures

Erio Castagnoli, Giacomo Cattelan외 3명|arXiv (Cornell University)|2021. 03. 29.

Risk and Portfolio Optimization참고 문헌 41인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 정규화된 위험 측도로서 양의 초동차성(positively superhomogeneous)을 가지며, 일관성과 볼록 위험 측도를 일반화하는 별형 위험 측도(star-shaped risk measures)를 도입하고 특성화한다. 주요 기여는 별형 성질이 Liquidity Risk, 경쟁적 위임, 강건한 집계와 같은 맥락에서 본질적인 위험 관리 행동을 포괄함과 동시에 금융적 직관을 유지하며, 일반적으로 사용되는 모든 위험 측도(예: VaR 및 Expected Shortfall 포함)를 포함함을 보여주는 것이다.

ABSTRACT

In this paper monetary risk measures that are positively superhomogeneous, called star-shaped risk measures, are characterized and their properties studied. The measures in this class, which arise when the controversial subadditivity property of coherent risk measures is dispensed with and positive homogeneity is weakened, include all practically used risk measures, in particular, both convex risk measures and Value-at-Risk. From a financial viewpoint, our relaxation of convexity is necessary to quantify the capital requirements for risk exposure in the presence of liquidity risk, competitive delegation, or robust aggregation mechanisms. From a decision theoretical perspective, star-shaped risk measures emerge from variational preferences when risk mitigation strategies can be adopted by a rational decision maker.

연구 동기 및 목표

• 위험 측도의 정규화된 초동차성 조건을 수식화하고 이를 '별형'으로 명명함으로써, 일관성 위험 측도에서의 하위가환성(subadditivity)과 양의 동차성의 일반화로서의 별형 위험 측도를 공식화하고 연구하는 것.
• 별형 위험 측도가 일관성 위험, 경쟁적 위임, 강건한 집계 메커니즘을 포함한 맥락에서 자연스럽게 나타남을 보여주는 것.
• 별형 위험 측도와 변동성 선호(variational preferences) 간의 연결 고리를 설정하여, 이들이 합리적인 위험 완화 전략에서 유래됨을 보여주는 것.
• 별형 위험 측도가 VaR 및 Expected Shortfall와 같은 실질적으로 널리 사용되는 모든 위험 측도를 포함하면서도 볼록 또는 일관성 측도보다 더 일반적인 성격을 지닌다는 것을 보여주는 것.
• Value-at-Risk와 별형 함수 집합의 inf-convolution을 통해 별형 위험 측도의 표현 정리(representation theorem)를 제시함으로써, 그들의 금융적 및 수학적 일관성을 확보하는 것.

제안 방법

• 모든 $\lambda > 1$ 에 대해 $\rho(\lambda X) \geq \lambda \rho(X)$ 를 만족하는 조건을 통해 별형 위험 측도를 정의함으로써, 축소가 비례 초과로 위험을 줄이는 경제적 직관을 반영하는 것.
• 기하학적 성질을 활용하여, 수용 집합(즉, 자본 부담이 없는 포지션의 집합)의 별형성(star-shapedness)이 별형 위험 측도와 동치임을 증명하는 것.
• 함수 집합 $\mathcal{G}$ 가 별형일 때, $\rho(X) = \inf_{g \in \mathcal{G}} \sup_{\alpha \in (0,1)} \{ \mathrm{VaR}_\alpha(X) - g(\alpha) \}$ 의 표현식을 사용하여 별형 위험 측도를 구성하고 특성화하는 것.
• 모든 법칙 불변성, 단조성, 이동 불변성 조건을 만족하고 $\mathrm{VaR}_\alpha$ 를 지배하는 위험 측도는 반드시 $\mathrm{ES}_\alpha$ 를 지배함을 보여주는 지배 결과를 증명함으로써, $\mathcal{SSD}$-일致성 하에서의 성립성을 확보하는 것.
• Liu, Wang, and Wei (2020)의 inf-convolution 기법을 활용하여, 기저 함수 집합 $\mathcal{G}$ 가 별형일 경우, 별형 위험 측도의 inf-convolution이 여전히 유효한 별형 위험 측도임을 보여주는 것.
• Jensen의 부등식과 꼬리 사건 구성 기법을 적용하여, $\mathcal{SSD}$-일치성 하에서 $\rho \geq \mathrm{ES}_\alpha$ 를 증명함으로써, 이 프레임워크의 강건성을 입증하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 금융기관에서의 유동성 위험과 집중 효과의 영향을 더 잘 반영하기 위해 위험 측도를 어떻게 일반화할 수 있는가?
• RQ2 하위가환성을 가정하지 않고도, 축소가 비례 초과로 위험을 감소시키는 경제적 직관을 포괄하는 데 필요한 최소한의 공리 집합은 무엇인가?
• RQ3 어떤 의사결정 이론적 프레임워크에서 별형 위험 측도가 자연스럽게 최적의 선택으로 나타나는가?
• RQ4 별형 위험 측도는 Value-at-Risk와 별형 함수 집합의 inf-convolution으로 표현될 수 있으며, 이는 규제 자본 계산에 어떤 의미를 갖는가?
• RQ5 Stochastic dominance 하에서 별형 위험 측도는 VaR 및 Expected Shortfall와 같은 기존의 위험 측도와 지배성 및 일관성 측면에서 어떻게 관련되어 있는가?

주요 결과

• 별형 위험 측도는 모든 $\lambda > 1$ 에 대해 $\rho(\lambda X) \geq \lambda \rho(X)$ 를 만족하며, 이는 축소가 비례 초과로 위험을 감소시킨다는 경제적 직관을 반영한다.
• 별형 위험 측도의 수용 집합은 별형 집합이며, 이는 수용 가능한 포지션의 노출을 줄여도 더 이상 수용 불가능해지지 않음을 보장한다.
• 모든 볼록 위험 측도와 모든 양의 동차성 위험 측도(예: VaR 및 Expected Shortfall 포함)는 별형 위험 측도의 특수한 경우이다.
• $\mathcal{SSD}$-일치성 하에서, $\mathrm{VaR}_\alpha$ 를 지배하는 모든 위험 측도는 반드시 $\mathrm{ES}_\alpha$ 를 지배한다. 이는 Expected Shortfall의 역할를 강화하는 지배 결과를 제공한다.
• 함수 집합 $\mathcal{G}$ 가 별형일 경우, 별형 위험 측도에 대해 $\rho(X) = \inf_{g \in \mathcal{G}} \sup_{\alpha \in (0,1)} \{ \mathrm{VaR}_\alpha(X) - g(\alpha) \}$ 의 표현식이 성립하며, 이는 구성적 특성화를 제공한다.
• 기저 함수 집합 $\mathcal{G}$ 가 별형일 경우, 별형 위험 측도의 inf-convolution은 여전히 유효한 별형 위험 측도이며, 이는 집계 과정에서의 구조 유지에 기여한다.