[논문 리뷰] Starshaped compact hypersurfaces with prescirbed Weingarten curvature in warped product manifolds

Daguang Chen, Haizhong Li외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 04. 30.

Geometric Analysis and Curvature Flows참고 문헌 19인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 가우스-보르트만 곡률의 k번째 기본 대칭 함수 ρ_k(ν) = tr(sym_k(II))를 갖는 별형 컴acts hypersurface에 대해 전역 C^2 추정과 존재성 결과를 확립한다. Guan 등 [28, 42]의 기법을 일반화하여, 오른쪽 항 함수 ρ_k = ρ_k(ν)에 대한 조건 하에 k=2 및 k=n-1에 대해 곡률 추정과 존재성을 증명하며, 유클리드 공간에서의 결과를 일반적인 워프드 프로덕트 구조로 확장한다.

ABSTRACT

Given a compact Riemannian manifold $M$, we consider a warped product $\bar M = I imes_h M$ where $I$ is an open interval in $\Bbb R$. For a positive function $ψ$ defined on $\bar M$, we generalized the arguments in \cite{GRW2015} and \cite{RW16}, to obtain the curvature estimates for Hessian equations $σ_k(κ)=ψ(V,ν(V))$. We also obtain some existence results for the starshaped compact hypersurface $Σ$ satisfying the above equation with various assumptions.

연구 동기 및 목표

• 유클리드 공간에서 주어진 웨잉텐 곡률 문제에 대한 C^2 곡률 추정과 존재 정리 결과를 워프드 프로덕트 다양체로 확장한다.
• 워프드 프로덕트 공간 \bar{M} = I ×_h M에서 별형 컴팩트 초표면이 ρ_k(ν) = tr(sym_k(II)) = ρ_k(V, ν(V))를 만족하도록 존재성을 확립한다.
• Guan 등 [28] 및 [42]에서 제시한 시험 함수 및 일정 랭크 정리 기법을 비유클리드적 워프드 프로덕트 다양체의 설정으로 일반화한다.
• ρ_k 함수에 대한 조건, 즉 단조성과 모델 곡률과의 비교 조건을 만족할 경우 곡률 추정이 유지됨을 확인한다.
• 도수 이론을 통해 동치를 정의한 호모토피를 구성함으로써 존재성을 증명한다.

제안 방법

• Guan 등 [28]의 C^2 곡률 추정 프레임워크를 워프드 프로덕트 다양체 \bar{M} = I ×_h M 및 메트릭 dt^2 + h^2(t)g'로 일반화한다.
• 워프드 구조에 적합한 ρ_k와 법선 벡터장 ν를 포함하는 새로운 시험 함수를 도입하여 2차 도함수를 제어한다.
• 등급 유지 조건을 만족시키기 위해 호모토피 흐름 동안 엄격한 볼록성을 유지하는 방식으로 일정 랭크 정리(제7.1조)를 적용한다.
• 호모토피 방법을 사용: ρ_k^s = (s ρ_k^{-1/k} + (1-s)ρ_k^{-1/k})^{-k} 를 정의하며, 여기서 ρ_k는 모델 곡률 함수이다.
• ρ_k에 대한 조건을 부과한다: t → t_- 일 때 ρ_k > C_n^k ρ_k^{model}, t → t_+ 일 때 ρ_k < C_n^k ρ_k^{model}, 그리고 → (h^k ρ_k) ≠ 0 이며, 경계에서 적절한 행동을 보장한다.
• ρ_k의 구조와 h(t), h'(t) > 0, 모델 곡률 ρ_k^{model} = h'(t)/h(t) 의 행동에 의존한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유클리드 공간에서 주어진 k-곡률 초표면에 대한 C^2 곡률 추정과 존재 정리 결과를 워프드 프로덕트 다양체로 확장할 수 있는가?
• RQ2 워프드 프로덕트 다양체 \bar{M} = I ×_h M에서 별형 초표면에 대해 전역 C^2 추정과 존재성을 보장하기 위해 곡률 함수 ρ_k(V, ν)에 어떤 조건이 필요한가?
• RQ3 Guan 등 [28]의 시험 함수 및 일정 랭크 정리 기법을 비정수 곡률을 갖는 워프드 프로덕트 다양체 설정으로 어떻게 일반화할 수 있는가?
• RQ4 h(t)와 ρ_k에 어떤 조건이 성립할 경우 호모토피 방법이 ρ_k(ν) = ρ_k(V, ν)를 만족하는 해를 도출할 수 있는가? 이때 ρ_k는 단조성 및 비교 조건을 만족해야 한다.
• RQ5 일반 워프드 프로덕트 다양체에서 k=2 및 k=n-1에 대해 존재 결과를 확립할 수 있는가? 특히, 배경 공간이 공간형이 아닐 경우에도 성립하는가?

주요 결과

• h' > 0 조건 하에 워프드 프로덕트 다양체 \bar{M} = I ×_h M에서 별형 컴팩트 초표면에 대해 ρ_k 조건 하에 전역 C^2 추정이 확립된다.
• k=2 및 k=n-1에 대해, θ(u) = (z(u), u)의 그래프가 ρ_k(ν) = ρ_k(V, ν(V))를 만족하는 고유한 C^ν 함수 z: M → I 가 존재함을 증명한다. 이 초표면 θ(M)는 \bar{M}_{-}^{+}의 내부에 포함된다.
• 존재 결과는 모델 솔루션 ρ_k에서 목표 ρ_k로의 호모토피에 기반하며, ρ_k는 t → t_- 일 때 ρ_k > C_n^k ρ_k^{model}, t → t_+ 일 때 ρ_k < C_n^k ρ_k^{model}, 그리고 → (h^k ρ_k) ≠ 0 조건을 만족한다.
• 수정된 시험 함수와 일정 랭크 정리를 사용하여 곡률 추정을 유도하며, 핵심 단계는 (ρ_k^{-1/k})_{,ij} + ρ_k^{-1/k} ρ_k − ρ_k^{model} 형식의 부등식을 검증하는 것이다.
• 구 표면의 경우, ρ_k^{ ext{model}} =  const × h'/h 이면 ρ_k^{-1/k}가 볼록임을 보이며, ρ_k' < 0 이고 ρ_k ρ_k'' >  (k-1)/k (ρ_k')^2 를 만족할 경우 필요한 부등식이 성립한다.
• 이 방법은 k=2 및 k=n-1에 대해 강건하며, 제시된 조건 하에 일반 워프드 프로덕트 다양체로 확장 가능하다. 다만, 하이퍼볼릭 공간에서는 적절한 초기 가족이 존재하지 않는 한 일정 랭크 정리가 실패한다.