[논문 리뷰] Static replications with traffic light options

Michael Schmutz, Thomas Zürcher|arXiv (Cornell University)|2010. 11. 22.

Simulation Techniques and Applications참고 문헌 19인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 교통 신호 옵션—두 개의 단일 자산 옵션의 지급액 곱에 기반한 이변량 유럽식 옵션—이 다변량 설정에서 복잡한 파생상품 지급액을 명시적 정적 헤지로 구현할 수 있음을 보여준다. 주요 기여는 브리든-리츠버거 결과의 이변량 확장으로, 공동 위험 중립 밀도는 교통 신호 옵션 가격의 네 번째 혼합 편미분으로 복구될 수 있음을 보여주며, 이는 바닐라 옵션과 채권을 사용한 간단하고 분석적인 정적 헤지를 가능하게 한다.

ABSTRACT

It is well known that any sufficiently regular one-dimensional payoff function has an explicit static hedge by bonds, forward contracts and lots of vanilla options. We show that the natural extension of the corresponding representation leads to a static hedge based on the same instruments along with traffic light options, which have recently been introduced in the market. One big advantage of these replication strategies is the easy structure of the hedge. Hence, traffic light options are particularly powerful building blocks for more complicated bivariate options. While it is well known that the second strike derivative of non-discounted prices of vanilla options are related to the risk-neutral density of the underlying asset price in the corresponding absolutely continuous settings, similar statements hold for traffic light options in sufficiently regular bivariate settings.

연구 동기 및 목표

• 교통 신호 옵션을 사용하여 단일 차원 정적 복제 프레임워크를 다변량 설정으로 확장한다.
• 교통 신호 옵션 가격과 두 기초 자산의 공동 위험 중립 밀도 사이의 직접적인 분석적 연결을 수립한다.
• 교통 신호 옵션이 이변량 설정에서 복잡한 지급 함수의 정적 헤지에 효율적인 빌딩 블록으로 기능할 수 있음을 보여준다.
• 다변량 파생상품의 가격 책정과 헤징에서 교통 신호 옵션의 실용적 사용을 위한 이론적 기반을 제공한다.

제안 방법

• 브리든-리츠버거 공식의 이변량 확장을 유도하여, 공동 위험 중립 밀도가 교통 신호 옵션의 비할인 가격의 네 번째 혼합 편미분임을 보여준다.
• 확률 공간이 필요 없이 순수 분석적 접근을 사용하여, 충분히 규칙적인 이변량 지급액을 교통 신호 옵션, 채권, 선도 계약의 선형 조합으로 표현한다.
• 위너의 근사 정리(Weiner’s Approximation Theorem)를 적용하여, R+²에서 적분 가능한 지급 함수가 유한한 선형 조합으로 임의로 정밀하게 근사 가능함을 보여준다.
• 유한한 교통 신호 옵션 조합의 집합이 L¹(R+²)에서 조밀함을 증명하여 일반적인 지급 함수의 근사가 가능함을 보장한다.
• 교통 신호 옵션 가격의 두 번째 혼합 편미분을 사용하여, 이변량 지급 함수의 적분 표현 공식을 도입한다.
• 통합 범위와 표현을 조정하여 음수 가격을 허용하도록 프레임워크를 확장하여, R² 상의 실수 값 함수에 대해서도 분석적 취급이 가능하도록 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 교통 신호 옵션은 단일 차원에서 바닐라 옵션과 유사하게 임의의 이변량 지급 함수를 정적 복제하는 데 사용될 수 있는가?
• RQ2 교통 신호 옵션 가격과 두 기초 자산의 공동 위험 중립 밀도 사이에 직접적인 분석적 관계가 존재하는가?
• RQ3 정적 복제에서 분석적 취급 가능성을 고려할 때, 교통 신호 옵션은 바스켓 옵션보다 어떻게 다를까?
• RQ4 유한한 교통 신호 옵션 조합으로 적분 가능한 이변량 지급 함수의 공간을 근사할 수 있는가?
• RQ5 다변량 파생상품 가격 책정과 헤징에서 교통 신호 옵션의 시장 활용을 위한 이론적 기초는 무엇인가?

주요 결과

• 공동 위험 중립 밀도 q(k₁,k₂)는 교통 신호 옵션의 비할인 가격의 네 번째 혼합 편미분과 동일하다.
• 누적 공동 분포 함수는 교통 신호 옵션 가격의 두 번째 혼합 편미분으로 복구되며, 이는 단변량 누적 분포 결과를 확장한 것이다.
• 충분히 규칙적인 이변량 지급 함수는 채권, 선도 계약, 바닐라 옵션, 교통 신호 옵션을 사용하여 정적 복제 가능하며, 간단하고 명시적인 구조를 가진다.
• 유한한 교통 신호 옵션 조합의 집합은 L¹(R+²)에서 조밀하므로, 임의의 적분 가능한 이변량 지급 함수는 이러한 조합을 통해 임의로 정밀하게 근사 가능하다.
• 통합 범위를 조정하고 음수의 행사가격 매개변수를 허용함으로써, 실수 값 함수 R²에 대한 표현이 확장되며 분석적 취급이 유지된다.
• 기존의 다변량 평가 기법에 대한 문헌과의 비교를 통해, 교통 신호 옵션이 바스켓 옵션보다 공동 위험 중립 밀도와 더 직접적인 관련성을 가짐을 보여준다.