[논문 리뷰] Stationary and time periodic patterns of two-predator and one-prey systems with prey-taxis

Ke Wang, Qi Wang외 1명|arXiv (Cornell University)|2015. 08. 17.

Mathematical Biology Tumor Growth참고 문헌 46인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 두 마리의 포식자와 한 마리의 피식자를 포함하는 삼종 포식-피식 시스템에서, 피식자로 향하는 이동(피식자 택시스)을 고려하여 패턴 형성 문제를 다룬다. 해의 전역 존재성과 유계성을 확립하고, 그룹 방어의 유무에 따라 피식자 택시스가 평형을 안정화하거나 불안정화할 수 있음을 보여주며, 분기 분석을 통해 정적 및 주기적 비자명한 패턴의 존재를 증명한다. 안정성 분석을 통해 강하게 결합된 시스템에서 파장 모드 선택 메커니즘을 규명한다.

ABSTRACT

This paper concerns pattern formation in a class of reaction-advection-diffusion systems modeling the population dynamics of two predators and one prey. We consider the biological situation that both predators forage along the population density gradient of the preys which can defend themselves as a group. We prove the global existence and uniform boundedness of positive classical solutions for the fully parabolic system over a bounded domain with space dimension $N=1,2$ and for the parabolic- -parabolic-elliptic system over higher space dimensions. Linearized stability analysis shows that prey-taxis stabilizes the positive constant equilibrium if there is no group defense while it destabilizes the equilibrium otherwise. Then we obtain stationary and time-periodic nontrivial solutions of the system that bifurcate from the positive constant equilibrium. Moreover, the stability of these solutions is also analyzed in detail which provides a wave mode selection mechanism of nontrivial patterns for this strongly coupled system. Finally, we perform numerical simulations to illustrate and support our theoretical results.

연구 동기 및 목표

• 피식자 택시스가 두 포식자, 한 마리의 피식자 생태계에서 공간 패턴 형성에 미치는 영향을 이해하기 위해.
• 피식자 내 그룹 방어의 영향을 고려할 때, 피식자 택시스 하에서 포식-피식 평형의 안정성에 미치는 영향을 조사하기 위해.
• 양의 정수 해에서 비자명한 정적 및 시간 주기적 해의 존재를 확립하기 위해.
• 이러한 비자명한 패턴의 안정성을 분석하고, 강하게 결합된 시스템에서 파장 모드 선택 메커니즘을 규명하기 위해.
• 반응-유동-확산 시스템의 수치 시뮬레이션을 통해 이론적 결과를 검증하기 위해.

제안 방법

• 로트카-볼테라 동역학과 피식자 택시스를 포함하는 완전히 포물형 3×3 반응-유동-확산 시스템을 수립한다.
• 양의 정수 해 근처에서 선형화된 안정성 분석을 수행하여, 그룹 방어의 유무에 따라 피식자 택시스가 평형을 안정화하거나 불안정화하는지 판단한다.
• 중심다양체 이론과 르아플라스-슐라이프트 감소 기법을 적용하여, 분기 이론을 통해 비자명한 정적 및 주기적 해의 존재를 증명한다.
• 푸리에 전개를 통해 분기해의 명시적 표현을 유도하고, 계수 행렬의 행렬식을 포함하는 행렬 시스템을 푸는다.
• 패턴 형성과 안정성에 대한 이론적 결과를 시각화하고 지지하기 위해 수치 시뮬레이션을 수행한다.
• 다중 척도 방법을 사용하여 분기해의 안정성을 분석하고, 분기 전개의 두 번째 항을 평가하여 파장 모드 선택 원리를 규명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 피식자 택시스는 두 포식자, 한 마리의 피식자 시스템에서 양의 정수 해 평형의 안정성에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ2 피식자 택시스가 비자명한 정적 또는 주기적 패턴을 유도하는 조건은 무엇인가?
• RQ3 피식자 내 그룹 방어는 피식자 택시스가 패턴 형성과 평형 안정성에 미치는 영향에 어떻게 기여하는가?
• RQ4 유도된 비자명한 패턴에서 파장 모드 선택을 규정하는 메커니즘은 무엇인가?
• RQ5 이 시스템에서 고전적 해의 전역 존재성과 균일 유계성이 성립하는 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 공간 차원 N = 1, 2에서 완전히 포물형 시스템과 고차원에서 포물형-포물형-타원형 시스템에 대해 양의 고전적 해의 전역 존재성과 균일 유계성을 증명하였다.
• 피식자에 그룹 방어가 없을 경우 피식자 택시스는 양의 정수 해 평형을 안정화하지만, 피식자가 그룹 방어를 보일 경우 불안정화한다.
• 적절한 매개변수 조건 하에서 양의 정수 해에서 비자명한 정적 및 주기적 해가 분기함을 보였다.
• 이러한 분기해의 안정성은 상세히 분석되었으며, 분기 전개의 두 번째 항에 기반한 파장 모드 선택 메커니즘이 드러났다.
• 수치 시뮬레이션은 이론적 예측을 확인하였으며, 고밀도 피식자 지역으로 포식자의 집합 현상과 복잡한 시공간 패턴의 발생을 보였다.
• 푸리에 전개와 부분 적분을 활용하여 계수 행렬의 행렬식을 이용해 분기해의 진폭을 명시적으로 유도하였다.