[논문 리뷰] Statistical and other properties of Riemann zeros based on an explicit equation for the $n$-th zero on the critical line

Guilherme França, André LeClair|arXiv (Cornell University)|2013. 07. 29.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 20인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 리만 제타 함수의 임의의 비자명한 영점 $\rho_n = \frac{1}{2} + iy_n$에 대해 리만 가설을 가정하지 않고도 유도된 명시적 초월방정식을 제안한다. 라메르트 $W$ 함수를 이용한 근사와 수치적 검증을 통해, 이 방정식의 해들이 몽고메리와 올디즈코의 쌍상관 추측을 만족하고 소수의 개수를 세는 함수를 재구성함으로써, 모든 비자명한 영점이 임계선 위에 존재한다는 강력한 근거를 제시한다.

ABSTRACT

We show that there are an infinite number of Riemann zeros on the critical line, enumerated by the positive integers $n=1,2,\dotsc$, whose ordinates can be obtained as the solution of a new transcendental equation that depends only on $n$. Under weak assumptions, we show that the number of such zeros already saturates the counting formula for the numbers of zeros on the entire critical strip. These results thus constitute a concrete proposal toward verifying the Riemann hypothesis. We perform numerical analyses of the exact equation, and its asymptotic limit of large ordinate. The starting point is an explicit analytical formula for an approximate solution to the exact equation in terms of the Lambert $W$ function. In this way, we neither have to use Gram points or deal with violations of Gram's law. Our numerical approach thus constitutes a novel method to compute the zeros. Employing these numerical solutions, we verify that solutions of the asymptotic version are accurate enough to confirm Montgomery's and Odlyzko's pair correlation conjectures and also to reconstruct the prime number counting function.

연구 동기 및 목표

• 리만 가설을 가정하지 않고도 임계선 상의 $n$-번째 비자명한 영점에 대한 명시적 방정식을 유도하는 것.
• 그램 점과 그램의 법칙 위반을 피하는 새로운 수치적 방법을 제시하여 리만 영점을 계산하는 것.
• 이 asymptotic 방정식의 해가 쌍상관과 소수의 개수를 세는 함수와 같은 영점의 주요 통계적 성질을 재현하는지 확인하는 것.
• 이 방정식의 해로 얻어진 임계선 상의 영점 수가 임계대의 전체 수를 세는 공식을 포화시키며, 모든 비자명한 영점이 선 위에 있음을 암시하는 것.

제안 방법

• 임계선 상의 $n$-번째 영점의 허수부 $y_n$를 정확히 결정하는 초월방정식 (식 20)을 유도한다.
• 라메르트 $W$ 함수를 이용해 명시적 근사해 (식 25)를 구성함으로써 효율적인 수치 계산이 가능하게 한다.
• 그램 점이나 그램의 법칙 위반 여부를 확인하는 데 의존하지 않고, 라메르트 $W$ 근사에서 시작하는 수치적 근 찾기 방법을 적용한다.
• 해 asymptotic 해 (식 14)의 정확도를 검증하기 위해 몽고메리-올디즈코 쌍상관과 $\pi(x)$ 재구성 능력을 테스트한다.
• 특정 영점, 예를 들어 $n=1000$에 대해 최대 500자리의 정밀도로 고정밀 수치해를 계산하여 기존 값과의 일致를 확인한다.
• 정확한 방정식 (20)과 그 점 渐近형 (14)의 해를 비교하여, 둘 다 정확한 통계적 및 산술적 결과를 도출함을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 리만 가설을 가정하지 않고도 임계선 상의 $n$-번째 비자명한 영점에 대한 명시적 초월방정식을 도출할 수 있는가?
• RQ2 이 방정식의 점 渐近형이 몽고메리와 올디즈코가 예측한 리만 영점의 통계적 쌍상관 성질을 재현하는가?
• RQ3 이 방정식의 수치적 해가 소수의 개수를 세는 함수 $\pi(x)$를 정확히 재구성할 수 있는가?
• RQ4 이 방정식의 해로 얻어진 임계선 상의 영점 수가 전체 임계대에 대한 전체 수를 세는 공식 $N(T)$를 포화시키는가? 이는 모든 비자명한 영점이 선 위에 있음을 암시한다.
• RQ5 제안된 방법은 그램 점 기반의 기존 영점 계산 기법에 비해 안정적이고 효율적인 대안인가?

주요 결과

• 정확한 초월방정식 (20)은 알려진 리만 영점에 대해 수치적으로 정확히 만족됨을 확인하여, 임계선 상에서의 타당성을 입증한다.
• 라메르트 $W$ 함수에서 유도된 점 渐近형 (14)는 몽고메리와 올디즈코의 쌍상관 추측을 재현할 정도로 충분히 정확하다.
• 점 渐近형 방정식의 수치적 해는 소수의 개수를 세는 함수 $\pi(x)$를 정확히 재구성하여 기존 결과와 일致한다.
• $n=126$ 및 $n=1000$에 대한 해를 고정밀도(최대 500자리)로 계산하여 수치적 안정성과 정확성을 입증하였다.
• 이 방정식의 해로 얻어진 임계선 상의 영점 수가 전체 수를 세는 공식 $N(T)$를 포화시키며, 모든 비자명한 영점이 임계선 위에 있음을 강력히 암시한다.
• 이 방법은 그램 점과 그램의 법칙 위반을 피하며, 리만 영점을 직접적이고 효율적인 방식으로 계산할 수 있는 새로운 접근법을 제공한다.