[논문 리뷰] Statistical convergence of order $\alpha$ in probability

Pratulananda Das, Sanjoy Ghosal외 1명|arXiv (Cornell University)|2016. 05. 18.

Approximation Theory and Sequence Spaces참고 문헌 25인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 확률론에서 랜덤 변수 수열에 대한 통계적 수렴의 네 가지 새로운 방식을 도입하고 분석한다: 확률론적 순서 α에 대한 통계적 수렴, 확률론적 순서 α에 대한 강한 p-Cesàro 합산 가능성, 순서 α에 대한 락투너리 통계적 수렴(Sθ-수렴), 그리고 순서 α에 대한 Nθ-수렴. 이들의 상호관계를 규명하고, 극한의 유일성을 증명하며, α와 β에 따라 엄밀한 포함관계를 보이며, 락투너리 수열의 성장률( lim inf qr > 1)이 핵심적인 역할을 한다.

ABSTRACT

In this paper ideas of different types of convergence of a sequence of random variables in probability, namely, statistical convergence of order $\alpha$ in probability, strong $p$-Ces$\grave{\mbox{a}}$ro summability of order $\alpha$ in probability, lacunary statistical convergence or $S_{ heta}$-convergence of order $\alpha$ in probability, ${N_{ heta}}$-convergence of order $\alpha$ in probability have been introduced and their certain basic properties have been studied.

연구 동기 및 목표

• 확률론에서 랜덤 변수 수열에 대한 통계적 수렴 개념을 확장하여, 네 가지 새로운 수렴 유형을 도입한다: 순서 α에 대한 통계적 수렴, 순서 α에 대한 강한 p-Cesàro 합산 가능성, 순서 α에 대한 락투너리 통계적 수렴(Sθ-수렴), 그리고 순서 α에 대한 Nθ-수렴.
• 이 네 가지 수렴 유형 간의 기본 성질과 상호관계를 규명하며, 특히 그 상호의존성과 계층적 구조에 초점을 맞춘다.
• 다른 수렴 유형이 서로를 유도하는 조건을 조사하며, 특히 락투너리 수열의 성장률( lim inf qr > 1로 특징지어짐)이 차지하는 역할을 분석한다.
• 표준 통계적 수렴 결과의 역이 확률론적 설정에서는 성립하지 않음을 보이며, 반례를 제시하여 순서 α에 대한 수렴이 α < β일 때 순서 β에 대한 수렴을 유도하지 않음을 보여준다.
• 네 가지 수렴 유형 각각에 대해 극한의 유일성을 증명하고, 서로 다른 수렴 유형에서 유도된 극한이 언제 일치하는지 명확히 한다.

제안 방법

• 순서 α에 대한 확률론적 통계적 수렴을 다음 조건을 통해 도입한다: limₙ→∞ (1/n^α) |{k ≤ n : P(|Xₖ − X| ≥ ε) ≥ δ}| = 0, 모든 ε, δ > 0에 대해.
• 순서 α에 대한 강한 p-Cesàro 합산 가능성의 정의를 확장하여, 확률론적 수렴에 순서 α를 적용한다.
• 락투너리 수열 θ = {θᵣ}를 사용하고 조건 limᵣ→∞ (1/hᵣ^α) Σ_{k∈Iᵣ} P(|Xₖ − X| ≥ ε) = 0을 만족하는 락투너리 통계적 수렴(Sθ-수렴)의 순서 α에 대한 정의를 제시한다.
• 락투너리 간격에서의 확률 평균을 이용해 순서 α에 대한 Nθ-수렴을 정의한다: limᵣ→∞ (1/hᵣ^α) Σ_{k∈Iᵣ} P(|Xₖ − X| ≥ ε) = 0.
• α-자연 밀도 개념과 락투너리 간격의 성장률(hᵣ = θᵣ − θᵣ₋₁)을 활용하여 수렴 행동을 분석한다.
• 모순과 비교 기법을 사용하여 수렴 유형 간 포함관계를 증명하며, 특히 α < β 이면 PNαθ ⊂ PSβθ임을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 확률론적 순서 α에 대한 통계적 수렴이 α < β일 때 순서 β에 대한 수렴을 유도하는지, 또는 유도하지 않는 조건은 무엇인가?
• RQ2 통계적, 강한 p-Cesàro, Sθ, Nθ 수렴의 네 가지 유형 간 포함관계와 동치성은 어떻게 상호작용하는가?
• RQ3 락투너리 수열의 성장률( lim inf qr > 1)이 서로 다른 수렴 유형 간 관계를 결정하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 순서 α에 대한 통계적 수렴을 하되, β < α일 때 순서 β에 대한 통계적 수렴을 하지 않는 수열는 존재하는가? 만약 존재한다면, 어떻게 구성할 수 있는가?
• RQ5 이 네 가지 수렴 유형 중 어느 하나에 대해 수열의 극한이 유일한가? 서로 다른 수렴 유형에서 유도된 극한이 언제 일치하는가?

주요 결과

• 확률론적 순서 α에 대한 통계적 수렴에서 수열의 극한은 거의 확실하게 유일하다. 즉, 두 극한이 존재할 경우 P{X = Y} = 1이다.
• 모든 α, β ∈ (0,1]에 대해, Xₙ → X in Sα 이고 Xₙ → Y in Sβ 이면 P{X = Y} = 1이다. 이는 확률론적 수렴에서 극한의 유일성을 증명한다.
• α < β일 때 PSα ⊂ PSβ가 성립하며, 이 포함관계는 엄밀하다. 즉, 순서 β에 대해 수렴하지만 순서 α에 대해 수렴하지 않는 수열가 존재한다.
• 고정된 락투너리 수열 θ에 대해 Sθ-극한과 Nθ-극한은 각각 유일하지만, 서로 다른 락투너리 수열은 서로 다른 극한을 유도할 수 있다. 이는 예제 3.1에서 보여진다.
• α < β일 때 PNαθ ⊂ PSβθ가 성립하며, 이 포함관계는 엄밀하다. Sβ-수렴은 하지만 Nα-수렴이 아닌 수열을 구성함으로써 이를 입증하였다.
• PSα ⊂ PSβθ가 성립하기 위해 조건 lim inf qr > 1는 필수적이고 충분하다. 만약 lim inf qr = 1 이면, 순서 α에 대해 수렴하지만 순서 β > α에 대해 Sθ-수렴하지 않는 수열이 존재한다.