[논문 리뷰] Statistical Cost Sharing

Eric Balkanski, Umar Syed외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 03. 09.

Game Theory and Voting Systems인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 부분 집합 비용에 대한 샘플 데이터만 제공될 때 공정한 비용 할당—특히 코어와 샤플리 값—을 계산하기 위한 프레임워크인 통계적 비용 공유를 소개한다. 전체 비용 함수를 학습하지 않고도 비용 할당을 직접 계산하는 방법을 제안하며, 샘플 복잡도 한계를 증명하고, 샘플에서 정확하게 근사할 수 있는 데이터에 의존하는 샤플리 값을 도입한다.

ABSTRACT

We study the cost sharing problem for cooperative games in situations where the cost function $C$ is not available via oracle queries, but must instead be derived from data, represented as tuples $(S, C(S))$, for different subsets $S$ of players. We formalize this approach, which we call statistical cost sharing, and consider the computation of the core and the Shapley value, when the tuples are drawn from some distribution $\mathcal{D}$. Previous work by Balcan et al. in this setting showed how to compute cost shares that satisfy the core property with high probability for limited classes of functions. We expand on their work and give an algorithm that computes such cost shares for any function with a non-empty core. We complement these results by proving an inapproximability lower bound for a weaker relaxation. We then turn our attention to the Shapley value. We first show that when cost functions come from the family of submodular functions with bounded curvature, $κ$, the Shapley value can be approximated from samples up to a $\sqrt{1 - κ}$ factor, and that the bound is tight. We then define statistical analogues of the Shapley axioms, and derive a notion of statistical Shapley value. We show that these can always be approximated arbitrarily well for general functions over any distribution $\mathcal{D}$.

연구 동기 및 목표

• 오ракูล 액세스 없이 부분적으로 샘플링된 비용 데이터만 제공될 때 공정한 비용 할당을 계산하는 데 도전하는 것.
• 이전의 통계적 코어 계산 연구를 비어 있지 않은 코어를 가진 모든 게임으로 일반화하여, 제한된 함수 클래스에 국한되지 않게 하는 것.
• 샘플 데이터에 특화된 데이터에 의존하는 샤플리 값의 통계적 대체 개념인 데이터에 의존하는 샤플리 값을 도입하고 체계화하는 것.
• 코어와 샤플리 값을 높은 확률로 정확하게 근사하기 위한 샘플 복잡도 한계를 확립하는 것.
• 공정성과 일관성을 데이터 기반 환경에서 보장하기 위해 통계적 버전의 샤플리 공리계를 정의하고 검증하는 것.

제안 방법

• 샘플된 튜플 $(S, C(S))$만을 사용하여, 전체 비용 함수를 명시적으로 학습하지 않고도 코어의 비용 할당을 직접 계산하는 알고리즘을 제안한다.
• 클래식한 샤플리 값의 통계적 대체 개념으로서 데이터에 의존하는 샤플리 값을 정의한다: $\phi^\mathcal{D}_i = \sum_{S: i \in S} \Pr[S \sim \mathcal{D}] \cdot \frac{C(S)}{|S|}$.
• 실제 샘플에서의 추정을 위해 경험적 데이터에 의존하는 샤플리 값을 $\tilde{\phi}^\mathcal{D}_i = \frac{1}{m} \sum_{S_j: i \in S_j} \frac{C(S_j)}{|S_j|}$ 로 정의한다.
• 휴프딩의 부등식을 사용하여 추정 오차를 근사하고, $\text{poly}(n, 1/\epsilon, 1/\delta)$ 개의 샘플을 사용하여 $|\tilde{\phi}^\mathcal{D}_i - \phi^\mathcal{D}_i| < \epsilon$ 가 높은 확률로 성립함을 보인다.
• 데이터에 의존하는 샤플리 값이 네 가지 고전적 샤플리 공리의 통계적 대체 개념을 모두 충족함을 증명한다: 균형, 대칭성, 영원소, 가환성.
• 완화된 코어 만족도에 대해 근사 불가능성 결과를 도출하여, 일반적으로 확률 1로 정확한 코어 준수를 보장할 수 없음을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비어 있지 않은 코어를 가진 임의의 비용 함수에 대해, 샘플 데이터에서 효율적으로 코어 성질을 만족하는 비용 할당을 계산할 수 있는가?
• RQ2 특히 곡률이 유계인 하위모듈라 함수에 대해, 샘플에서 샤플리 값을 근사하기 위해 필요한 샘플 복잡도는 얼마인가?
• RQ3 오직 관측된 플레이어 부분 집합만을 관찰할 수 있는 통계적 프레임워크에서 고전적 샤플리 값을 어떻게 재정의할 수 있는가?
• RQ4 결과 값이 공정하고 데이터에서 추정 가능한 통계적 샤플리 공리계를 정의할 수 있는가?
• RQ5 비용 함수가 부분적으로만 관측될 때, 높은 확률로 코어 또는 샤플리 값을 근사할 수 있는가?

주요 결과

• 비어 있지 않은 코어를 가진 임의의 비용 함수에 대해, 높은 확률로 코어를 만족하는 비용 할당을 계산하는 알고리즘이 제시되었으며, 명시적인 샘플 복잡도 한계가 함께 제시되었다.
• 곡률 $\kappa$를 가진 하위모듈라 함수의 경우, 샤플리 값은 $\sqrt{1 - \kappa}$ 요소 내에서 샘플에서 근사 가능하며, 이 한계는 최적임을 보였다.
• 데이터에 의존하는 샤플리 값은 네 가지 통계적 대체 공리 모두를 충족하여, 샘플링 모델 하에서 공정성과 일관성을 보장한다.
• 경험적 데이터에 의존하는 샤플리 값은 $\text{poly}(n, 1/\epsilon, 1/\delta)$ 개의 샘플을 사용하여 진짜 데이터에 의존하는 샤플리 값과 $\epsilon$ 이내의 오차로 근사 가능하며, 확률 최소 $1 - \delta$로 성립한다.
• 일반적으로 확률 1로 코어를 근사적으로 만족시키는 것은 불가능함을 증명하여, 통계적 환경에서의 근본적인 한계를 규명하였다.
• 이 프레임워크는 전체 비용 함수에 대한 액세스가 불가능한 실세계 응용 분야—예를 들어 모바일 배터리 기여도 분석 및 플레이어 영향 평가—에서 정확한 비용 할당을 가능하게 한다.