[논문 리뷰] Statistical estimation by power variations in mixed models

Marco Dozzi, Yuliya Mishura외 1명|arXiv (Cornell University)|2013. 01. 06.

Financial Risk and Volatility Modeling인용 수 2

한 줄 요약

이 논문은 표준 브라운 운동과 분수 브라운 운동을 조합한 혼합 과정의 파wer 변동성에 대한 渐近 이론을 개발하여, 혼합 확률 모델의 파rameter에 대한 강한 일致 추정기법을 구축한다. 이 방법은 구성 요소들의 서로 다른 척도 성질을 활용하여 추정기의 거의 확실 수렴을 달성한다.

ABSTRACT

We obtain results on both weak and almost sure asymptotic behaviour of power variations of a linear combination of independent Wiener process and fractional Brownian motion. These results are used to construct strongly consistent parameter estimators in mixed models.

연구 동기 및 목표

• 독립적인 위너 과정과 분수 브라운 운동으로 구성된 혼합 과정에서의 파워 변동성의 약한 및 거의 확실한 渐近 행동을 확립하기 위해.
• 장기적 의존성과 비 마코프 성질로 인해 기존 방법이 실패할 수 있는 혼합 확률 모델에서의 파rameter 추정 문제를 다루기 위해.
• 구성 과정의 서로 다른 통계적 성질을 활용하여 혼합 모델에 대한 일致 추정 프레임워크를 개발하기 위해.
• 확산 과정과 장기 기억 과정을 조합한 혼합 모델에서의 추론을 위한 이론적 기초를 제공하기 위해.
• 헤르스트 매개수 H ≠ 1/2인 분수 브라운 운동을 포함하는 설정으로 고전적 파워 변동성 기법을 확장하기 위해.

제안 방법

• 독립적인 표준 브라운 운동과 분수 브라운 운동의 선형 조합의 파워 변동성 분석.
• 혼합 계수에 대한 일반 조건 하에서 파워 변동성의 약한 수렴 및 거의 확실 수렴 결과 도출.
• 분수 브라운 운동의 자기유사성과 장기적 의존성 성질을 활용하여 표준 브라운 운동과의 기여를 구분하기 위해.
• U-통계량과 경험 과정의 극한 정리 적용을 통해 파워 변동성의 渐近 분포 확립.
• 파워 변동성의 渐近 행동에 기반한 추정기 구축 및 그들의 강한 일치성 증명.
• 두 과정의 서로 다른 척도 법칙을 활용하여 파워 변동성 통계량에서의 기여를 분리하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 표준 브라운 운동과 분수 브라운 운동의 혼합 과정에 파워 변동성을 적용할 경우, 그 행동은 어떻게 渐近적으로 나타나는가?
• RQ2 이러한 혼합 모델에서 파워 변동성의 약한 및 거의 확실한 극한은 무엇인가?
• RQ3 혼합 과정에서의 파워 변동성의 渐近 행동을 이용하여 일치 추정기를 구성할 수 있는가?
• RQ4 분수 브라운 운동의 헤르스트 매개수는 파워 변동성의 渐近 성질에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ5 혼합 모델에서 파워 변동성 통계량으로 유도된 추정기의 강한 일치성을 보장하는 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 혼합 과정의 파워 변동성은 혼합 계수와 헤르스트 매개수에 의존하는 결정론적 극한으로 거의 확실하게 수렴한다.
• 자기유사성 지수의 차이로 인해 표준 브라운 운동과 분수 브라운 운동 성분 간에 파워 변동성의 渐近 행동이 크게 다름.
• 혼합 계수에 대한 미약한 정규성 조건 하에서 제안된 추정기의 강한 일치성이 확립됨.
• 파워 변동성의 극한은 브라운 운동의 이차변동성과 분수 브라운 운동의 변동성에 대한 기능의 선형 조합임.
• 이 방법은 파워 변동성에서 두 과정의 기여를 성공적으로 분리하여 각각의 파rameter에 대한 일관된 추정이 가능하게 함.
• 이론적 결과는 기존의 최대우도 기반 방법이 비가능한 혼합 모델에서의 추론을 위한 기초를 제공함.