[논문 리뷰] Statistical inference and hypotheses testing of risk averse stochastic programs

Vincent Guigues, Volker Krätschmer외 1명|arXiv (Cornell University)|2016. 03. 23.

Risk and Portfolio Optimization참고 문헌 20인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 표본 평균 근사(SAA)를 사용하여 위험 회피적 확률적 프로그래밍의 통계적 추론 및 가설 검정 방법을 개발한다. 법칙에 따라 불변하는 일관된 위험 측도 하에서 최적값과 최적해에 대한 중심극한정리 유사 결과를 확립하여, 여러 확률적 프로그래밍 간 최적값을 비교하는 점근적 및 비점근적 검정을 가능하게 한다. 주요 기여는 점근적 검정이 비점근적 방법에 비해 소형에서 중형 표본 크기에서 유의적으로 제2종 오류를 감소시킴을 보여주는 것이다.

ABSTRACT

We study statistical properties of the optimal value and optimal solutions of the Sample Average Approximation of risk averse stochastic problems. Central Limit Theorem type results are derived for the optimal value and optimal solutions when the stochastic program is expressed in terms of a law invariant coherent risk measure. The obtained results are applied to hypotheses testing problems aiming at comparing the optimal values of several risk averse convex stochastic programs on the basis of samples of the underlying random vectors. We also consider non-asymptotic tests based on confidence intervals on the optimal values of the stochastic programs obtained using the Stochastic Mirror Descent algorithm. Numerical simulations show how to use our developments to choose among different distributions and show the superiority of the asymptotic tests on a class of risk averse stochastic programs.

연구 동기 및 목표

• 법칙에 따라 불변하는 일관된 위험 측도로 구성된 위험 회피적 확률적 프로그래밍의 최적값과 최적해에 대한 통계적 추론 방법을 개발하기 위해.
• 표본 데이터를 사용하여 여러 위험 회피적 확률적 프로그래밍 간 최적값을 비교하는 가설 검정을 가능하게 하기 위해.
• 다양한 표본 크기와 문제 차원에서 점근적 대비 비점근적 검정의 제2종 오류 비율 측면에서 성능을 평가하기 위해.
• 통계적 신뢰구간을 활용하여 위험 측도 순위에 기반해 후보 해 또는 분포 중에서 선택하는 데 실용적인 도구를 제공하기 위해.

제안 방법

• 법칙에 따라 불변하는 일관된 위험 측도 하에서 표본 평균 근사(SAA) 문제의 최적값과 최적해에 대한 중심극한정리 유사 점근적 분포를 유도한다.
• 독립 identically distributed(일반적으로 동일한 분포를 가진) 표본을 사용하여 SAA 방법을 적용하여 기저 확률 벡터의 진짜 확률적 프로그래밍을 근사하고, 정규 조건 하에서 수렴 성질을 분석한다.
• K개의 위험 회피적 볼록 확률적 프로그래밍 간 최적값을 비교하는 가설 검정을 위한 점근적 검정을 개발하며, 등가성, 부등식, 순서 제약 조건을 포함한다.
• 스토하스틱 미러 강하 알고리즘에서 유도된 신뢰구간을 기반으로 유한 표본에서 최적값 차이를 평가하는 비점근적 검정을 제안한다.
• 수치 시뮬레이션을 통해 점근적 및 비점근적 검정의 경험적 성능을 제2종 오류와 신뢰구간 폭 측면에서 비교한다.
• 검정 정확도 검증을 위해 참 최적값을 추정하기 위해 표본 크기 $10^6$ 의 기준 기준을 사용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 SAA를 사용하여 위험 회피적 확률적 프로그래밍의 최적값과 해에 대해 점근적 통계적 추론을 신뢰성 있게 적용할 수 있는가?
• RQ2 소형에서 중형 표본 크기에서 점근적 및 비점근적 가설 검정은 제2종 오류 비율 측면에서 어떻게 비교되는가?
• RQ3 표본 크기가 N=20에 불과한 위험 회피적 문제에서 SAA 최적값의 정규 근사가 어느 정도 유효한가?
• RQ4 통계적 검정을 다양한 후보 분포나 해의 위험 측도 값 기반으로 효과적으로 선택하는 데 사용할 수 있는가?
• RQ5 점근적 및 비점근적 방법에서 유도된 신뢰구간은 폭과 참 최적값에 대한 가까움 측면에서 어떻게 비교되는가?

주요 결과

• 모든 테스트 비교에서 표본 크기 $N=100$ 이상일 경우 점근적 검정은 제2종 오류가 0이 되지만, 일부 케이스에서는 비점근적 검정이 $N=10^5$ 까지 100% 제2종 오류를 유지한다.
• 표본 크기 $N=20$ 일 때, 최적값에 대한 점근적 신뢰구간은 이미 참 값에 가까워지고, 신뢰도는 명목 수준에 가까워진다.
• 더 좁고 정확한 신뢰구간 덕분에 점근적 검정은 소형 표본 크기에서도 비점근적 검정보다 제2종 오류를 유의적으로 감소시키며 성능이 뛰어나다.
• SAA 최적값 분포의 정규 근사는 $N \geq 20$ 이며 문제 크기 $n=10,000$ 까지 정확하다.
• 점근적 신뢰구간은 비점근적 구간보다 더 좁고 참 최적값에 더 가까워서, 진짜 대안을 탐지하는 데 더 높은 검정력(유의력)을 가진다.
• 표본 크기 $N=10^5$ 일 때, 점근적 검정은 모든 비교에서 제2종 오류가 0이 되지만, 비점근적 검정은 일부 케이스에서 여전히 100% 제2종 오류를 보이며, 이는 뚜렷한 성능 격차를 시사한다.