[논문 리뷰] Statistical properties of diffeomorfisms with weak invariant manifolds

José F. Alves, Davide Azevedo|arXiv (Cornell University)|2013. 10. 10.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 13인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 약한 불변 다양체를 갖는 컴act 리만다이프모르피즘에 대해, 갈릴레오-마르코프-영 구조를 도입하여 상관관계의 다항수렴과 큰 편차를 확립한다. 다항수렴에 대한 반환 시간 꼬리의 제어가 상관관계와 큰 편차의 다항수렴률을 유도함을 증명하며, 이는 이전의 지수적 결과를 비균일하게 초월하는 비선형 혼합 행동을 보이는 비균일 초월 시스템으로 일반화한다.

ABSTRACT

We consider diffeomorphisms of compact Riemmanian manifolds which have a Gibbs-Markov-Young structures, consisting of a reference set $Λ$ with a hyperbolic product structure and a countable Markov partition. We assume polynomial contraction on stable leaves, polynomial backward contraction on unstable leaves, a bounded distortion property and a certain regularity of the stable foliation. We establish a control on the decay of correlations and large deviations of the SRB measure of the dynamical system, based on a polynomial control on the Lebesgue measure of the tail of return times. Finally, we present an example of a dynamical system defined on the torus and prove that it verifies the properties of the Gibbs-Markov-Young structure that we considered.

연구 동기 및 목표

• 비균일하게 초월하는 다이퍼모르피즘에 대해 상관관계와 큰 편차의 이론을 다항혼합률을 갖는 시스템으로 확장한다.
• 특히 안정 다발에서의 다항수축과 불안정 다발에서의 다항역수축을 갖는 약한 초월성 시스템을 분석한다.
• 반환 시간 꼬리 행동과 상관관계 및 큰 편차와 같은 통계적 성질 간의 연결 고리를 확립한다.
• 비지수 혼합을 갖는 시스템을 위한 일반적 프레임워크 — 갈릴레오-마르코프-영 구조 — 를 제공하며, 토러스에서의 새로운 예제도 포함한다.
• 지수적 반환 시간 꼬리 기반 이전 결과를 다항수렴의 경우로 일반화하여, 비균일하게 초월하는 시스템으로의 적용 범위를 넓힌다.

제안 방법

• 기준 집합 Λ 위에 초월적 곱의 구조와 가чёт한 마르코프 분할을 갖는 갈릴레오-마르코프-영 구조를 정의한다.
• 안정 다발에서의 다항수축, 불안정 다발에서의 다항역수축, 유한한 분산, 안정 폴리에이션의 정규성 조건을 가정한다.
• 영 타워 구조와 몫 타워를 사용하여 시스템의 반환 역학을 모델링하고, 반환 시간 꼬리 감쇠가 통계적 성질과 어떻게 연결되는지 분석한다.
• 반환 시간 함수와 그 꼬리 분포를 이용하여 불변 측도 간의 커플링 논증을 수립한다.
• 반환 시간 분포와 관련된 부등식을 적용하고, 파라미터 ρ > ζ + 1 를 사용하여 상관관계 감쇠율을 제어한다.
• 반환 시간 꼬리가 P(T > n) ≤ C/n^{ζ−1} 를 만족하면, 상관관계 감쇠율이 C′/n^{ζ−1} 이하로 유계임을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 반환 시간 꼬리에 대한 다항수렴 제어가 비균일하게 초월하는 다이퍼모르피즘에서 상관관계 감쇠에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ2 반환 시간 꼬리가 다항수렴 조건을 만족할 경우 큰 편차는 제어 가능한가? 그 결과로 나타나는 감쇠율은 무엇인가?
• RQ3 약한 초월성 시스템에서 갈릴레오-마르코프-영 구조의 존재를 보장하는 조건은 무엇인가?
• RQ4 유한한 분산과 안정 폴리에이션의 정규성 조건이 시스템의 통계적 제어에 어떤 기여를 하는가?
• RQ5 필요한 다항수렴 꼬리 및 구조 조건을 만족하는 토러스 위의 구체적 예를 구성할 수 있는가?

주요 결과

• 반환 시간 꼬리가 P(T > n) ≤ C/n^{ζ−1} 를 만족하면, SRB 측도에 대한 상관관계 감쇠율이 C′/n^{ζ−1} 이하로 유계임을 보였다.
• 큰 편차는 다항수렴적으로 제어되며, 그 감쇠율은 반환 시간 함수의 동일한 꼬리 행동에 의해 결정된다.
• 증명은 반환 시간 구조와 몫 타워 구조를 이용한 불변 측도 간의 커플링 논증에 기반한다.
• 감쇠 유계에서 상수 C′ 은 초기 꼬리 상수 C 와 분산 상수 D_φ 및 D_φ′ 에 의존한다.
• 모든 요구 조건을 만족하는 새로운 토러스 예가 구성되었으며, 이는 약한 초월성, 유한한 분산, 정규 안정 폴리에이션, 다항 반환 시간 꼬리 조건을 모두 충족한다.
• 이 프레임워크는 이전의 지수 감쇠 결과를 다항수렴으로 일반화하여, 더 느린 혼합 속도를 갖는 시스템으로의 적용 가능성을 넓혔다.