[논문 리뷰] Statistics of the First Galois Cohomology Group: A Refinement of Malle's Conjecture

Brandon Alberts|arXiv (Cornell University)|2019. 07. 14.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 34인용 수 13

한 줄 요약

이 논문은 Malle의 추측을 개선하기 위해, Galois 작용을 가진 아벨 군 $ T $ 를 사용하여 $ H^1(K, T) $ 를 통한 갈로아 확장의 새로운 수세기 프레임워크를 도입한다. Wiles의 일반화된 세르머 그룹에 관한 정리와 함께, 제한된 판별식을 가진 이 코homology 클래스의 점 渐진적 성장률을 도출함으로써, 많은 가해군에 대해 처음으로 비자명한 하한을 증명하고, Malle의 원래 추측에 대한 반례에 대해 Türkelli가 예측한 수정된 하한을 확인한다.

ABSTRACT

Malle proposed a conjecture for counting the number of $G$-extensions $L/K$ with discriminant bounded above by $X$, denoted $N(K,G;X)$, where $G$ is a fixed transitive subgroup $G\subset S_n$ and $X$ tends towards infinity. We introduce a refinement of Malle's conjecture, if $G$ is a group with a nontrivial Galois action then we consider the set of crossed homomorphisms in $Z^1(K,G)$ (or equivalently $1$-coclasses in $H^1(K,G)$) with bounded discriminant. This has a natural interpretation given by counting $G$-extensions $F/L$ for some fixed $L$ and prescribed extension class $F/L/K$. If $T$ is an abelian group with any Galois action, we compute the asymptotic growth rate of this refined counting function for $Z^1(K,T)$ (and equivalently for $H^1(K,T)$) and show that it is a natural generalization of Malle's conjecture. The proof technique is in essence an application of a theorem of Wiles on generalized Selmer groups, and additionally gives the asymptotic main term when restricted to certain local behaviors. As a consequence, whenever the inverse Galois problem is solved for $G\subset S_n$ over $K$ and $G$ has an abelian normal subgroup $T rianglelefteq G$ we prove a nontrivial lower bound for $N(K,G;X)$ given by a nonzero power of $X$ times a power of $\log X$. For many groups, including many solvable groups, these are the first known nontrivial lower bounds. These bounds prove Malle's predicted lower bounds for a large family of groups, and for an infinite subfamily they generalize Kl\"uners' counter example to Malle's conjecture and verify the corrected lower bounds predicted by T\"urkelli.

연구 동기 및 목표

• Malle의 추측을 $ G $-확장 외에도 $ H^1(K, G) $ 내의 교차 호모모르피즘(1-코클래스)을 제한된 판별식으로 세는 것으로 확장하여 보다 일반화된 형태로 개선하는 것.
• G가 비자명한 Galois 작용을 가질 경우, 특히 $ G $ 가 아벨 정규부분군 $ T \triangleleft G $ 를 포함할 경우 Malle의 추측을 일반화하는 것.
• $ \#\{\phi \in Z^1(K, T) : \operatorname{disc}(\phi) < X\} $ 의 점 渐진적 성장률을 규명하여, 이는 Malle의 원래 추측의 자연스러운 일반화임을 보여주는 것.
• 코homological 기법을 사용하여, 판별식 $ < X $ 인 $ G $-확장의 수 $ N(K, G; X) $ 에 대해 비자명한 하한을 증명하는 것.
• Malle가 예측한 하한이 많은 군, 특히 가해군의 경우에 대해 확인되고, Türkelli의 예측을 통해 Kl"uners의 반례에 대한 수정된 하한으로 일반화되는가를 검증하는 것.

제안 방법

• $ T $ 가 Galois 작용을 가진 아벨 군일 때, $ \#\{\phi \in Z^1(K, T) : \operatorname{disc}(\phi) < X\} $ 의 점 渐진적 성장률을 분석하기 위해 Wiles의 일반화된 세르머 그룹 정리를 적용하는 것.
• 클래스 체계 이론과 기본 클래스를 활용하여 코homology를 사각체군과 연결시키기 위해 쌍대군 $ A^* $ 의 특성에 대한 합으로 계수 함수를 모델링하는 것.
• 국소 조건과 관련된 오일러乘수를 분석하기 위해 정리 2.2를 적용하여, 주요 항을 결정하는 오른쪽 가장자리의 극의 위치와 차수를 식별하는 것.
• 꼬임에 의한 판별식 보존을 보장하기 위해 $ \operatorname{Hom}_B(\prod_{p\in S} L_p^*, T) \times \cdots $ 의 부분집합 $ U \subset $ 를 통한 하한을 구성하는 것.
• 임bedding 문제의 해 존재성을 보장하기 위해 $ \Psi $ 의 상사상성(서제바이티브)을 이용하여, 코homology 클래스의 전단계 하위족을 구성하는 것.
• $ H^1_L(0)^*(K, T^*) $ 의 합 길이를 사각체군 $ L(\mu_{|T|}) $ 의 판별식과 연결하여, $ \ll \operatorname{disc}(L(\mu_{|T|})/K)^{1/2 + \epsilon} $ 의 상한을 얻는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 G의 군에 비자명한 Galois 작용이 존재할 경우, 특히 G가 아벨 정규부분군 $ T \triangleleft G $ 를 포함할 경우, Malle의 추측을 어떻게 보완하여 Galois 작용을 고려할 수 있는가?
• RQ2 Galois 작용을 가진 아벨 군 $ T $ 에 대해, 제한된 판별식을 가진 교차 호모모르피즘 $ Z^1(K, T) $ 의 수의 점 渐진적 성장률은 무엇인가?
• RQ3 G가 아벨 정규부분군 $ T \triangleleft G $ 를 포함할 경우, 코homological 기법을 사용하여 $ N(K, G; X) $ 에 대해 비자명한 하한을 확립할 수 있는가?
• RQ4 Malle의 원래 추측이 실패하는 경우에도, $ H^1(K, T) $ 를 통한 개선된 수세기 프레임워크가 Malle의 예측한 하한을 회복하고 일반화할 수 있는가?
• RQ5 $ H^1_L(0)^*(K, T^*) $ 의 구조는 수세기 함수의 성장률과 어떻게 관련되어 있으며, 국소 조건의 수를 제한하는 데 사용될 수 있는가?

주요 결과

• $ \#\{\phi \in Z^1(K, T) : \operatorname{disc}(\phi) < X\} $ 의 점 渐진적 성장률이 $ \sim c(K, T) X^{1/a(T)} (\log X)^{b(K,T)-1} $ 임을 보여주며, 여기서 $ a(T) = \min_{g \neq 1} \operatorname{ind}(g) $ 이다. 이는 Malle의 추측을 일반화한다.
• 모든 군 $ G \subset S_n $ 에 대해 아벨 정규부분군 $ T \triangleleft G $ 를 가질 경우, 이 방법은 $ N(K, G; X) \gg X^{1/a(G)} (\log X)^{b(K,G)-1} $ 의 비자명한 하한을 증명하며, 이는 많은 가해군에 대해 처음으로 성립하는 하한이다.
• 이 방법은 $ K = \mathbb{Q} $ 에서 $ G = C_3 \wr C_2 $ 의 반례에 대해 Türkelli가 예측한 수정된 하한을 확인하여, Kl"uners의 Malle의 원래 추측에 대한 반례를 해결한다.
• Wiles의 정리를 사용하여 개선된 수세기 함수의 점 渐진적 주항을 증명하며, 주항은 Frobenian 국소 조건에 대한 오일러 곱의 오른쪽 가장자리 극에서 기인한다.
• $ H^1_L(0)^*(K, T^*) $ 의 합 길이가 $ \ll \operatorname{disc}(L(\mu_{|T|})/K)^{1/2 + \epsilon} $ 로 상한이 주어지며, 이는 국소 조건의 수가 판별식에 대해 초지수적으로 증가하지 않음을 보여준다.
• Wiles의 정리를 통한 접근은 이전 방법에서 요구하던 국소 조건이 부분군이어야 하는 제약 조건을 피함으로써, 판별식 순서로 정렬된 수세기의 정확한 점 渐진적 주항을 가능하게 한다.