[논문 리뷰] Statistics of the Work in Quantum Quenches, Universality and the Critical Casimir Effect

Andrea Gambassi, Alessandro Silva|arXiv (Cornell University)|2011. 06. 14.

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics참고 문헌 2인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 양자 쿼런치에서의 일 통계와 고전적 시스템에서의 임계 카시미르 효과 사이의 사상 관계를 수립하여, 양자 임계점 근처에서 일 분포 $ P(W) $ 의 보편적 스케일링 행동을 드러낸다. 특성 함수를 허수 시간으로 해석적 계속을 통해 확장함으로써 저자들은 $ P(W) $ 를 고전적 필름의 분할함수와 연결하며, 가장자리 특이성과 임계 행동이 보편적인 임계 카시미르 자유 에너지에 의해 지배됨을 보여준다.

ABSTRACT

We consider the dynamics of an isolated quantum many-body system after a sudden change of one control parameter, focusing on the statistics of the work done. We establish a connection between the generating function of the distribution of the work and the partition function of a classical system in a film geometry. Using this connection, we first show that the scaling of the fidelity susceptibilities close to a quantum phase transition can be understood in terms of the critical behavior of the excess entropy and specific heat in the classical model. Remarkably, we show that the statistics of the work close to the threshold and to criticality is connected to the so-called critical Casimir free energy which is responsible for the interaction between the boundaries of the classical system. On the basis of this relation, we highlight the emerging universal features of the statistics of the work. Our findings are exemplified for a global quench of the transverse Ising chain at zero temperature.

연구 동기 및 목표

• 고립된 many-body 시스템에서의 양자 쿼런치 동안 일의 통계에서 보편성이 어떻게 나타나는지 이해하기 위해.
• 작도 특성 함수와 고전적 시스템의 분할함수 사이의 연결 고리를 규명하기 위해.
• 분포 $ P(W) $ 의 가장자리 특이성과 임계 행동이 보편적인 임계 카시미르 자유 에너지에 의해 지배됨을 보여주기 위해.
• 양자 임계점 근처에서 피델리티 감도의 스케일링이 고전적 모델의 임계 행동에서 기인됨을 보여주기 위해.
• 고전적 임계 현상에 기반한 비평형 동역학 분석을 위한 보편적 프레임워크를 제공하기 위해.

제안 방법

• 일 분포의 특성 함수 $ G(t) = \braket{\tilde{\rho}_i | e^{iH_i t} e^{-iH_f t} | \tilde{\rho}_i} $ 를 해석적 계속 $ t \to -iR $ 를 통해 고전적 분할함수로 매핑하여 $ G(R) = e^{-\triangle E_0 R} Z(R) $ 를 도출한다.
• $ Z(R) $ 가 두께 $ R $ 의 스트립에서 정의된 고전적 $ d+1 $-차원 시스템의 분할함수임을 식별하며, 경계 상태는 초기 양자 상태에 대응한다.
• 자유 에너지 $ -\text{ln}\thinspace G(R) $ 를 부피, 표면, 임계 카시미르 기여로 분해: $ f_{\text{tot}} = R f_b + 2f_s + f_c(R) $, 여기서 $ f_c(R) $ 는 임계 카시미르 자유 에너지이다.
• $ f_c(R) \to A(R) R^{-1} $ 의 渐近 형태를 사용하여 $ P(W) $ 의 보편적 가장자리 특이성을 유도하며, $ R \to \rho_+ $ 일 때 $ A(R) \to \text{const} \times R^{-1} $ 임을 확인한다.
• 등급장 이론과 쌍대성을 적용하여 임계점으로 또는 이를 가로질러 쿼런치한 경우의 $ F(x) $ 를 계산하며, $ x = R/\rho_+ $ 이고, 역 푸리에 변환을 통해 $ P(W) $ 를 추출한다.
• 임계점 근처의 임계 행동과 이중입자 연속체에서의 명시적 표현을 유도하며, 산란 진폭의 운동학적 극에서 기인한 $ w = m_f, 2m_f, \text{etc.} $ 에서의 델타 함수 피크를 포함한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 양자 쿼런치에서의 일 통계는 고전적 시스템의 임계 카시미르 효과와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ2 양자 임계점 근처에서 분포 $ P(W) $ 에서 어떤 보편적 특성이 나타나는가?
• RQ3 $ P(W) $ 의 가장자리 특이성은 쿼런치의 초기 및 최종 매개변수에 어떻게 의존하는가?
• RQ4 양자 상전이 근처에서 피델리티 감도의 스케일링은 고전적 임계 행동을 통해 이해할 수 있는가?
• RQ5 경계 조건과 쌍대성은 $ P(W) $ 의 보편적 형태를 결정하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 일 분포의 특성 함수 $ G(t) $ 는 해석적 계속 $ t \to -iR $ 를 통해 고전적 필름 기하학에서의 분할함수로 매핑되며, 양자 쿼런치 동역학과 고전적 임계 현상 사이의 연결 고리를 제공한다.
• 임계 카시미르 자유 에너지 $ f_c(R) \to A(R) R^{-1} $ 는 $ P(W) $ 의 보편적 가장자리 특이성을 지배하며, $ R \to \rho_+ $ 일 때 $ A(R) \to \text{const} \times R^{-1} $ 임을 확인하여 분포에서 보편적 $ \rho_{-}^{2} \times \frac{1}{\rho} $ 스케일링을 이끌어낸다.
• 임계점으로의 쿼런치($ g_f = 1 $) 에서는 분포가 스케일링 함수 $ F(x=0) = -\frac{\rho_+}{48} $ 를 가지며, 이는 등급장 이론 예측과 일치한다.
• 임계점 근처를 가로질러 쿼런치한 경우 $ m_f \to 0 $ 일 때는 비해석적 행동 $ F(x) \to -\rho_+ x e^{-x} + \frac{2}{\rho_+} x^{3/2} e^{-2x} + \text{...} $ 를 보이며, 이는 $ T > T_c $ 에서 $ (+,+) $ 또는 $ T < T_c $ 에서 $ (O,O) $ 경계 조건일 때의 임계 카시미르 효과를 반영한다.
• 분포 $ P(W) $ 는 산란 진폭의 비추상 운동학적 극에서 기인한 보편적인 델타 함수 피크를 $ w = m_f, 2m_f, \text{etc.} $ 에 가지며, 유한 체적에 기인한 간격 $ \frac{1}{L} $ 을 가진다.
• $ 2m_f $ 에서의 가장자리 특이성은 열역학적 극한에서 적분 가능하지 않지만, $ w - 2m_f \to \frac{1}{L} $ 에서 잘린다. 이는 이중입자 준위 간격 $ \frac{1}{L} $ 과 일치한다.