[논문 리뷰] Steady low Reynolds number flow of a generalized Newtonian fluid through a slender elastic tube

Vishal Anand, Ivan C. Christov|arXiv (Cornell University)|2018. 10. 11.

Blood properties and coagulation인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 끈적임 수치가 낮고 안정된 유동을 보이는 일반화된 뉴턴 유체(예: 거듭제곱 법칙)가 미세한 탄성 관을 통과할 때의 흐름을 다루는 펌정적 분석 모델을 개발한다. 라우버케이션 이론과 박판 탄성 이론을 결합하여, 흐름에 의해 유도되는 변형을 고려한 일반화된 하겐-포아제유 법칙을 유도한다. 이는 변형에 의해 변하는 횡단면을 반영하여 유량이 증가함을 보여주며, 3차원 직접 수치 시뮬레이션과 양호한 일치를 보임으로써 검증된다.

ABSTRACT

An elastic flow vessel can deform significantly due to viscous fluid flow within it, even at vanishing Reynolds number (no fluid inertia). Deformation leads to an enhancement of throughput due to the change in cross-sectional area. The latter gives rise to a non-constant pressure gradient in the flow-wise direction and, hence, to a nonlinear flow rate--pressure drop relation (unlike the Hagen--Poiseuille law for a rigid tube). Biofluids are non-Newtonian, and well approximated by generalized Newtonian (say, power-law) rheological models. Consequently, we analyze the problem of steady low Reynolds number flow of a generalized Newtonian fluid through a slender elastic tube by coupling fluid lubrication theory to a structural problem reduced to transverse loading of a linearly elastic cylindrical shell. A perturbative approach (in the slenderness parameter) yields analytical solutions for both the flow and the deformation. Using matched asymptotics, we obtain a uniformly valid solution for the tube's radial displacement, which features both a boundary layer and a corner layer caused by localized bending near the clamped ends. In doing so, we obtain a ``generalized Hagen--Poiseuille law'' for soft microtubes. We benchmark the mathematical predictions against three-dimensional two-way coupled direct numerical simulations (DNS) of flow and deformation performed using the commercial computational engineering platform by ANSYS. The simulations show good agreement and establish the range of validity of the theory. Finally, we discuss the implications of the theory on the problem of the flow-induced deformation of a blood vessel, which is featured in some textbooks.

연구 동기 및 목표

• 유체-구조 상호작용을 고려하여, 끈적임 수치가 낮고 안정된 유동을 보이는 일반화된 뉴턴 유체가 미세한 탄성 관을 통과할 때의 흐름을 모델링하는 것.
• 고정된 끝부분에서 국소적으로 굽어지는 현상으로 인해 발생하는 경계층과 모서리 계층을 반영하는, 관의 반경 방향 변위에 대한 해석적 해를 유도하는 것.
• 탄성 미세관에서 비선형적인 유량-압력 강하 관계를 반영하는, 일반화된 하겐-포아제유 법칙을 수립하는 것.
• 고정밀 3차원 이방향 결합 직접 수치 시뮬레이션(DNS)과의 비교를 통해 이론적 예측을 검증하는 것.
• 일부 교과서에서 논의된, 유연한 혈관에서의 혈류역학적 흐름에 대한 영향을 탐색하는 것.

제안 방법

• 유체의 관성력이 무시 가능하고 점성력이 지배적인 것으로 가정하여, 라우버케이션 이론을 사용해 일반화된 뉴턴 유체의 흐름을 모델링한다.
• 관의 반경 방향 변형을 모델링하기 위해 박판 탄성 이론을 적용한다.
• 관의 길이 대비 두께 비율인 미세도 파라미터에 대해 펌정적 접근을 사용하여, 흐름과 변형에 대한 점근적 해를 도출한다.
• 경계층과 모서리 계층을 해결하기 위해, 일관된 해를 구성하기 위해 매칭된 점근적 전개를 적용한다.
• 유체-구조 문제를 결합하여, 흐름량과 압력 강하 사이의 비선형 관계를 도출한다. 이는 하겐-포아제유 법칙과는 다름.
• ANSYS를 사용하여 3차원 이방향 결합 DNS와의 비교를 통해 분석 모델의 정확성을 확보하며, 변형 및 흐름 영역 전반에 걸쳐 정확도를 확보한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 미세한 탄성 관의 변형이 일반화된 뉴턴 유체의 유량-압력 강하 관계에 어떤 영향을 미치는가? 특히 낮은 끈적임 수치에서.
• RQ2 고정된 끝부분에서 점성 유동 하중을 받는 미세한 탄성 관의 반경 방향 변위장의 구조는 어떠한가? 특히 고정된 끝부근 근처에서.
• RQ3 펌정적 점근적 해가 전체 3차원 시뮬레이션과 비교해 얼마나 정확하게 흐름과 변형을 예측하는가?
• RQ4 비뉴턴 유변학(예: 거듭제곱 법칙 행동)은 관의 팽창에 의해 유도되는 흐름 증가에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 생리학적 조건에 가까운 상황에서 소프트 미세관에 적용 가능한 일반화된 하겐-포아제유 법칙의 유효 범위는 어디까지인가?

주요 결과

• 해석 모델은 고정된 끝부분에서 국소적으로 굽어지는 현상으로 인해 발생하는 경계층과 모서리 계층을 성공적으로 포착한다.
• 유도된 일반화된 하겐-포아제유 법칙은 변형으로 인한 가변적인 횡단면 면적을 반영하여, 고정된 관의 경우와는 다름없는 비선형적인 유량-압력 강하 관계를 반영한다.
• ANSYS를 사용해 수행한 3차원 직접 수치 시뮬레이션과의 비교에서 이론적 예측이 뛰어난 일치를 보이며, 모델의 정확성과 유효 범위를 확인한다.
• 모델은 흐름에 의해 유도되는 변형이 조건이 아무리 낮은 끈적임 수치일지라도, 효과적인 횡단면 면적이 증가함으로써 유량을 증가시킴을 보여준다.
• 펌정적 접근은 관의 길이 전반에 걸쳐 균일하게 유효한 해를 도출하며, 특히 끝부분 근처에서 높은 응력 기울기를 가지는 영역까지도 정확하게 모델링할 수 있다.
• 이러한 발견은 비뉴턴 효과와 벽의 탄성성이 중요한 혈관과 같은 탄성 미소혈관 시스템의 흐름을 이해하는 데 이론적 기초를 제공한다.