[논문 리뷰] Steady solutions of the Navier-Stokes equations in the plane

Julien Guillod|arXiv (Cornell University)|2015. 11. 12.

Navier-Stokes equation solutions참고 문헌 32인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 2차원 비유한 도메인에서 정 steady, 비압축성 나비에-스토크스 유동을 조사하며, 비선형 효과가 네트워크 힘이 비영일지라도 무한거리를 향해 속도가 0이 되는 해를 허용함으로써 고전적 스토크스 역설을 해결한다. 비영인 순력에 대해 형식적 점근 전개를 수립하여, 미세한 흐름의 감쇠가 $|\boldsymbol{x}|^{-1/3}$임을 예측하고, 수치적으로 검증하며, 해가 이중 흐름 또는 조화 해로 점점 수렴할 수 있음을 보여주어 선형 스토크스 이론을 넘어서는 다양한 거리에서의 거동이 가능함을 드러낸다.

ABSTRACT

This study is devoted to the incompressible and stationary Navier-Stokes equations in two-dimensional unbounded domains. First, the main results on the construction of the weak solutions and on their asymptotic behavior are reviewed and structured so that all the cases can be treated in one concise way. Most of the open problems are linked with the case of a vanishing velocity field at infinity and this will be the main subject of the remainder of this study. The linearization of the Navier-Stokes around the zero solution leads to the Stokes equations which are ill-posed in two dimensions. It is the well-known Stokes paradox which states that if the net force is nonzero, the solution of the Stokes equations will grow at infinity. By studying the link between the Stokes and Navier-Stokes equations, it is proven that even if the net force vanishes, the velocity and pressure fields of the Navier-Stokes equations cannot be asymptotic to those of the Stokes equations. However, the velocity field can be in some cases asymptotic to two exact solutions of the Stokes equations which also solve the Navier-Stokes equations. Finally, a formal asymptotic expansion at infinity for the solutions of the two-dimensional Navier-Stokes equations having a nonzero net force is established based physical arguments. The leading term of the velocity field in this expansion decays like $|\boldsymbol{x}|^{-1/3}$ and exhibits a wake behavior. Numerical simulations are performed to validate this asymptotic expansion when is net force is nonzero and to analyze the asymptotic behavior in the case where the net force is vanishing. This indicates that the Navier-Stokes equations admit solutions whose velocity field goes to zero at infinity in contrast to the Stokes linearization and moreover this shows that the set of possible asymptotes is very rich.

연구 동기 및 목표

• 정 steady 나비에-스토크스 흐름에서 비선형화된 스토크스 해가 무한거리를 향해 발산함으로써 무한한 성장이 발생함에 따라 실패하는 2차원에서의 스토크스 역설을 해결하기 위해.
• 순력이 0이거나 비영일 경우 정 steady 나비에-스토크스 해의 점근적 행동을 특성화하기 위해, 특히 속도가 무한거리를 향해 0으로 감쇠할 수 있는지 여부를 조사하기 위해.
• 비영인 순력이 있는 해에 대해 형식적 점근 전개를 수립하여, 흐름의 감쇠 행동을 예측하기 위해.
• 예측된 점근 감쇠 비율을 수치적으로 검증하고 고 레이놀즈 수에서 다중 흐름이 어떻게 나타나는지 탐색하기 위해.
• 나비에-스토크스 해의 가능한 거리 점근선의 집합이 선형 스토크스 방정식의 것보다 더 풍부함을 보여주기 위해.

제안 방법

• 비유한 2차원 도메인에서 약한 해와 그 점근적 행동에 관한 기존 결과를 검토하고 통합하기 위해.
• 스토크스와 나비에-스토크스 방정식 사이의 연관성을 분석하여, 순력이 0이더라도 나비에-스토크스 해가 점점 수렴하여 스토크스 해와 일치하지 않음을 보여주기 위해.
• 물리적 논거를 사용하여 비영인 순력에 대해 형식적 점근 전개를 유도하며, 주요 감쇠가 흐름 영역에서 $|\boldsymbol{x}|^{-1/3}$임을 확인하기 위해.
• 무한거리를 향한 점근 예측을 테스트하기 위해 인공 경계 조건을 사용한 수치 시뮬레이션을 수행하며, 델타 함수를 근사하는 소스 항을 사용하기 위해.
• 대칭성 깨짐 메쉬를 사용하여 다중 흐름의 발생을 관찰하고, 원거리에서의 감쇠 비율을 분석하기 위해.
• 큰 영역($10^2 \leq r \leq 8 \times 10^3$)에서의 수치적 속도 크기를 피팅하여 거듭제곱 감쇠 지수를 추출하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비영인 순력이 있을 경우, 2차원 비유한 도메인에서 정 steady 나비에-스토크스 해가 무한거리를 향해 속도가 0이 될 수 있는가? 이는 스토크스 역설에 반하는가?
• RQ2 비영인 순력이 있는 정 steady 나비에-스토크스 흐름의 속도장에 대한 올바른 점근적 행동은 무엇인가?
• RQ3 수치적 해에서 다중 흐름은 어떻게 발생하며, 큰 거리에서 어떤 감쇠 비율을 보이는가?
• RQ4 순력이 0일 경우, 해가 정확한 오일러 방정식 해나 조화장으로 점점 수렴할 수 있는가?
• RQ5 점점 수렴하는 영역에서 흐름의 수는 어떤 요소에 의해 결정되는가? 레이놀즈 수인가, 소스 구성인가?

주요 결과

• 비영인 순력이 있는 경우, 속도장의 주요 점근적 행동은 흐름 영역 내에서 $|\boldsymbol{x}|^{-1/3}$로 감쇠되며, 외부에서는 $|\boldsymbol{x}|^{-2/3}$로 감쇠되며, 물리적 추측과 일치한다.
• 수치 시뮬레이션은 고강도 $\mathcal{A}$에서 $n=1,2,3,4$ 소스 구성에 대해 흐름 영역에서 $|\boldsymbol{x}|^{-1/3}$ 감쇠를 확인한다.
• 저강도 $\mathcal{A}$일 경우, 해는 처음에는 스토크스 해($r^{-1}$ 또는 $r^{-2}$)와 유사하게 감쇠하지만, $\mathcal{A}$가 증가함에 따라 $r^{-1/3}$ 감쇠로 전이된다.
• $n=4$일 경우, 대칭성 깨짐으로 인해 고 $\mathcal{A}$에서 네 개의 구분된 흐름이 나타나며, 이는 다중 흐름이 고 레이놀즈 수에서만 나타남을 시사한다.
• 순력이 0인 해는 이중 흐름 해 ${\boldsymbol{U}\!}_{\boldsymbol{F}} + {\boldsymbol{U}\!}_{-\boldsymbol{F}}$ 또는 조화 해 $\mu \boldsymbol{e}_{\theta}/r$로 점점 수렴할 수 있으며, 둘 다 $|\boldsymbol{x}|^{-1/3}$로 초임계적으로 감쇠된다.
• 나비에-스토크스 방정식의 비선형성은 순력이 비영일지라도 해가 무한거리를 향해 0으로 감쇠될 수 있도록 허용하며, 이는 비선형 수준에서 스토크스 역설을 해결한다.