[논문 리뷰] Steady streaming between two vibrating planes at high Reynolds numbers

Konstantin Ilin, Andrey Morgulis|arXiv (Cornell University)|2011. 08. 12.

Nanofluid Flow and Heat Transfer참고 문헌 22인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 레이놀즈 수가 높은 조건에서 두 진동하는 평면 사이의 안정된 스트리밍에 대한 渐近 이론을 개발한다. 비슈크-류스테르니크 방법을 사용하여 스토크스 항을 보정한 평균화된 나비에-스토크스 방정식을 유도한다. 주요 결과는 공진행 파동에 의해 유도되는 단방향, 평판 평행 유동에 대한 해석적 해를 제공하며, 이는 고레이놀즈 수 영역으로의 흡입 펌프 이론의 확장이다.

ABSTRACT

We consider incompressible flows between two transversely vibrating solid walls and construct an asymptotic expansion of solutions of the Navier-Stokes equations in the limit when both the amplitude of vibrations and the thickness of the Stokes layer are small and have the same order of magnitude. Our asymptotic expansion is valid up to the flow boundary. In particular, we derive equations and boundary conditions, for the averaged flow. In the leading order, the averaged flow is described by the stationary Navier-Stokes equations with an additional term which contains the leading-order Stokes drift velocity. In a slightly different context (for a flow induced by an oscillating conservative body force), the same equations had been derived earlier by Riley (2001). The general theory is applied to two particular examples of steady streaming induced by transverse vibrations of the walls in the form of standing and travelling plane waves. In particular, in the case of waves travelling in the same direction, the induced flow is plane-parallel and the Lagrangian velocity profile can be computed analytically. This example may be viewed as an extension of the theory of peristaltic pumping to the case of high Reynolds numbers.

연구 동기 및 목표

• 작은 진폭과 작은 스토크스 계층 두께 조건에서, 레이놀즈 수 스케일링이 $ R_s \sim 1 $가 되도록, 두 수직으로 진동하는 벽 사이의 점성 불압축성 유동에 대한 체계적인 渐近 전개를 개발하기.
• 유동 경계까지 유효한 평균화된(안정 스트리밍) 방정식과 경계 조건을 도출하여, 주요 유동에서의 비선형 상호작용을 고려하기.
• 고레이놀즈 수 영역으로의 고전적 흡입 펌프 이론을 분석 유동에 의해 유도되는 진행파 및 정적파를 고려하여 확장하기.
• 채널을 통과하는 총 부피 유량을 최대화하는 최적의 벽 변형 프로파일을 규명하기.
• 현재의 渐近 프레임워크의 한계를 규명하기, 특히 단파장 진동과 고 $ R_s $ 조건에서의 한계를 중심으로.

제안 방법

• 벽 이동 진폭과 채널 높이의 비율을 나타내는 작은 매개변수 $ \epsilon $에 기반한 비슈크-류스테르니크 방법을 사용하여 渐近 전개를 구성하기.
• 빠른 시간 진동과 느린 평균 동역학을 분리하기 위해 다중 척도 접근법을 사용하며, 주요 유동 방정식에 비선형 항을 유지하기.
• 주요 유동의 스토크스 항 속도에 비례하는 추가 항을 포함한 평균화된 나비에-스토크스 방정식을 유도하여 순정적인 평균 유동을 캡처하기.
• 특정 두 경우에 이 방법을 적용하기: 정적파(순환 유동을 유도함)와 같은 방향으로 진행하는 파동(단방향 유동을 유도함).
• 진행 평면파의 경우 결과로 유도된 渐近 방정식을 해석적으로 풀어 라그랑주 유속 프로파일에 대한 명시적 표현을 도출하기.
• 벽 변형의 푸리에 급수 전개를 사용하여 일반적인 주기적 진동에 대해 평균 유속장을 표현하고, 최적의 조화 성분을 선택하여 부피 유량을 최적화하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 스트리밍 레이놀즈 수 $ R_s \sim 1 $ 조건에서, 두 평행 벽의 수직 진동에 의해 유도되는 안정 스트리밍 유동의 구조는 어떻게 되는가?
• RQ2 스토크스 계층 두께가 벽 이동 진폭과 유사할 때, 경계층이 감쇠되지 않는 행동을 보일 경우, 渐近 해가 이를 어떻게 고려하는가?
• RQ3 진행 조화 파동에 의해 유도되는 평균 유동은 해석적으로 풀 수 있는가? 그 결과로 얻어지는 유속 프로파일은 어떠한가?
• RQ4 주어진 진동 진폭 조건에서, 채널을 통과하는 총 부피 유량을 최대화하는 벽 변형 프로파일은 무엇인가?
• RQ5 다른 종류의 벽 진동(굽힘 vs 수축/팽창)에 대해 파장이 증가함에 따라 흐름의 구조는 어떻게 변화하는가?

주요 결과

• 같은 방향으로 진행하는 파동의 경우, 안정 스트리밍 유동은 단방향이면서 2차원이며, 중심에서 최소이고 벽 근처에서 최대인 대칭적인 라그랑주 유속 프로파일을 가진다.
• 단파장 근사에서, 유속 프로파일은 벽 근처의 얇은 경계층을 제외하고 채널 전반에 걸쳐 거의 일정해지며, 그 경계층에서 급격히 증가한다.
• 장파의 경우, 채널 전반의 유속 변화는 감소하고, 수축/팽창 파동의 경우 파장이 증가함에 따라 최대 유속이 급격히 증가하지만, 굽힘 파동의 경우 감소한다.
• 부피 유량을 최대화하는 최적의 벽 변형은 단일 조화 성분으로 나타나며, 수축/팽창 파동의 경우 첫 번째 조화 성분, 굽힘 파동의 경우 더 높은 조화 성분(예: $ m=4 $ for $ k=1 $)이 된다.
• 반대 방향으로 진행하는 파동의 경우, 평균 유동은 단파장에서는 '고양이 눈' 형태의 소용돌이를 가진 비선형 유동에서 시작하여, 장파장에서는 교차하는 소용돌이 패턴으로 변화한다.
• 이론은 채널 높이보다 훨씬 작은 수평 길이 스케일에서는 붕괴되며, 이는 단파장 영역에서 이중 경계층 모델이 필요함을 시사한다.