[논문 리뷰] Steiner (revised) Szeged index of graphs

Modjtaba Ghorbani, Xueliang Li외 4명|arXiv (Cornell University)|2019. 05. 31.

Graph theory and applications참고 문헌 19인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 k개 정점의 집합에 대한 스티너 거리(Steiner distance)를 사용하여 고전적 슈체게드 지수를 새롭게 일반화한 스티너(수정된) 슈체게드 지수를 소개한다. 나무에 대한 정확한 공식을 유도하고, 자동형군의 궤도를 통해 지수를 표현하며, 연결 그래프에 대해 날카로운 상한과 하한을 확립하며, k가 n−1과 같이 극단적인 값일 경우 닫힌 형태의 표현식을 도출한다.

ABSTRACT

The Steiner distance in a graph, introduced by Chartrand et al. in 1989, is a natural generalization of the concept of classical graph distance. For a connected graph $G$ of order at least 2 and $S\subseteq V(G)$, the Steiner distance $d_G(S)$ of the set $S$ of vertices in $G$ is the minimum size of a connected subgraph whose vertex set contains or connects $S$. In this paper, we introduce the concept of the Steiner (revised) Szeged index ($rSz_k(G)$) $Sz_k(G)$ of a graph $G$, which is a natural generalization of the well-known (revised) Szeged index of chemical use. We determine the $Sz_k(G)$ for trees in general. Then we give a formula for computing the Steiner Szeged index of a graph in terms of orbits of automorphism group action on the edge set of the graph. Finally, we give sharp upper and lower bounds of ($rSz_k(G)$) $Sz_k(G)$ of a connected graph $G$, and establish some of its properties. Formulas of ($rSz_k(G)$) $Sz_k(G)$ for small and large $k$ are also given in this paper.

연구 동기 및 목표

• k-정점 집합에 대한 스티너 거리를 통합하여 고전적 슈체게드 지수와 수정된 슈체게드 지수를 일반화한다.
• 정점 분할과 이항계수를 활용하여 나무에서의 스티너 슈체게드 지수에 대한 정확한 공식을 도출한다.
• 모서리의 자동형군 작용을 이용한 스티너 슈체게드 지수 계산 방법을 개발한다.
• 연결 그래프에서 스티너(수정된) 슈체게드 지수에 대한 날카로운 상한과 하한을 확립한다.
• 특히 순서 n인 그래프에서 k = n−1인 극단적인 k 값에 대해 지수에 대한 닫힌 형태의 표현식을 유도한다.

제안 방법

• 모서리 e = uv ∈ E(G)에 대해, u가 S' ∪ {u}보다 S'에 더 가까운 (k−1)-부분집합 S'의 수인 $ n_u(e;k) $를 고려하여, k번째 스티너 슈체게드 지수를 $ Sz_k(G) = \sum_{e=uv \in E(G)} (n_u(e;k) + 1)(n_v(e;k) + 1) $로 정의한다.
• 동일한 방식으로, $ n_0(e;k) $를 통해 동점( ties )을 반영한 k번째 수정된 스티너 슈체게드 지수를 $ rSz_k(G) = \sum_{e=uv \in E(G)} (n_u(e;k) + n_0(e;k)/2 + 1)(n_v(e;k) + n_0(e;k)/2 + 1) $로 정의한다.
• 동일한 구조적 역할을 하는 모서리를 궤도(orbit)로 묶어 자동형군의 작용을 이용해 지수를 효율적으로 계산한다.
• 나무에 대해, $ a_i $가 모서리를 제거했을 때 생기는 부수나무의 크기이면, $ Sz_k(T) = \sum_{i<j} a_i a_j \left( \binom{a_i-1}{k-1} + 1 \right) \left( \binom{a_j-1}{k-1} + 1 \right) $를 도출한다.
• 경계를 확립: $ m \leq Sz_k(G) \leq m \left( \left\lceil \frac{1}{2} \binom{n-2}{k-1} \right\rceil + 1 \right) \left( \left\lfloor \frac{1}{2} \binom{n-2}{k-1} \right\rfloor + 1 \right) $, 등호 조건을 함께 제시한다.
• k = n−1에 대한 정확한 값 제공: $ Sz_{n-1}(G) = m + p $, $ rSz_{n-1}(G) = 2p + \frac{9}{4}(m - p) $, 여기서 p는 날개 모서리의 수이다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고전적 슈체게드 지수는 k-정점 스티너 거리로 어떻게 일반화될 수 있는가?
• RQ2 나무에서의 스티너 슈체게드 지수에 대한 정확한 공식은 무엇인가?
• RQ3 스티너 슈체게드 지수를 모서리에 대한 군 작용을 이용해 효율적으로 계산할 수 있는가?
• RQ4 연결 그래프에서 스티너(수정된) 슈체게드 지수에 대한 가장 날카로운 상한과 하한은 무엇인가?
• RQ5 k가 최대에 가까운 경우(특히 k = n−1)에 지수에 대한 닫힌 형태의 표현식은 무엇인가?

주요 결과

• 나무에 대해, 스티너 슈체게드 지수는 $ Sz_k(T) = \sum_{i<j} a_i a_j \left( \binom{a_i-1}{k-1} + 1 \right) \left( \binom{a_j-1}{k-1} + 1 \right) $로 주어지며, 여기서 $ a_i $는 모서리를 제거했을 때 생기는 부수나무의 크기이다.
• n개 정점과 m개 모서리가 있는 그래프에서 k = n−1일 때, 스티너(수정된) 슈체게드 지수는 $ rSz_{n-1}(G) = 2p + \frac{9}{4}(m - p) $이며, 여기서 p는 날개 모서리의 수이다.
• k = n−1일 때, 표준 스티너 슈체게드 지수는 $ Sz_{n-1}(G) = m + p $로 주어지며, 모든 연결 그래프에 대해 성립한다.
• 지수 $ Sz_k(G) $는 G가 (n−k)-연결일 때 최솟값 m을 취하며, 이는 높은 대칭성과 균형 잡힌 정점 분포를 의미한다.
• 지수 $ Sz_k(G) $의 상한은 $ m \left( \left\lceil \frac{1}{2} \binom{n-2}{k-1} \right\rceil + 1 \right) \left( \left\lfloor \frac{1}{2} \binom{n-2}{k-1} \right\rfloor + 1 \right) $이며, 비대칭 그래프에 대해 날카로운 경계이다.
• 함수 $ rSz_{n-1}(T) $는 날개 모서리의 수 p에 대해 엄밀히 증가하므로, 별 모양 그래프는 최소화하고 경로 그래프는 최대화한다.