[논문 리뷰] Stieltjes integrals of Hölder continuous functions with applications to fractional Brownian motion

A. A. Ruzmaikina|ArXiv.org|2000. 05. 15.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 15인용 수 14

한 줄 요약

이 논문은 리만 합의 발산 문제를 해결하기 위해 재규합군 기반 공식을 사용하여 허더 연속 함수의 스티엘티에스 적분에 대한 새로운 추정치를 수립함으로써, 분수 브라운 운동(fBm)에 대한 경로 기반 확률 적분의 구축을 가능하게 한다. fBm에 의해 구동되는 확률 미분 방정식의 해가 허더 연속 함수 공간에서 존재하고 유일함을 증명하며, 이러한 적분의 최댓값에 대한 尾 꼬리 추정치를 유도하여 고전적인 이토 미적분을 비-세미마르팅게일 과정으로 확장한다.

ABSTRACT

We give a new estimate on Stieltjes integrals of Hölder continuous functions and use it to prove an existence-uniqueness theorem for solutions of ordinary differential equations with Hölder continuous forcing. We construct stochastic integrals with respect to fractional Brownian motion, and establish sufficient conditions for its existence. We prove that stochastic differential equations with fractional Brownian motion have a unique solution with probability 1 in certain classes of Hölder-continuous functions. We give tail estimates of the maximum of stochastic integrals from tail estimates of the Hölder coefficient of fractional Brownian motion. In addition we apply the techniques used for ordinary Brownian motion to construct stochastic integrals of deterministic functions with respect to fractional Brownian motion and give tail estimates of its maximum.

연구 동기 및 목표

• 허더 연속 함수의 스티엘티에스 적분에 대한 새로운 추정치를 수립하여, 무한한 변동성을 가진 경우 발생하는 리만 합의 발산 문제를 해결한다.
• 분수 브라운 운동(fBm)에 대한 경로 기반 확률 미적분을 확장하며, 이는 $\alpha \neq 0$일 때 세미마르팅게일이 아니기 때문이다.
• fBm에 의해 구동되는 확률 미분 방정식(SDE)의 해가 허더 연속 함수 공간에서 존재하고 유일함을 증명한다.
• 허더 계수의 성질과 가우시안 과정 부등식을 이용하여 fBm에 대한 확률 적분의 최댓값에 대한 尾 꼬리 추정치를 도출한다.
• fBm에 대해 결정론적 함수의 확률 적분을 구축하고, 그 최댓값의 분포를 특성화한다.

제안 방법

• 구간의 재귀적 분할과 재규합군 기법을 사용하여 스티엘티에스 적분의 새로운 표현을 유도하며, 이를 $\int_s^t f\,dg = f(s)(g(t)-g(s)) + \sum_{k=1}^\infty \sum_{i=0}^{2^{k-1}-1} \Delta f(s+s_{2i}^k)\Delta g(s+s_{2i+1}^k)$ 로 표현한다.
• 하디-리틀우드-소볼레프 부등식과 허더 부등식을 적용하여 확률 적분 $\int_0^t f(\tau)\,d\xi_\alpha(\tau)$ 의 $L^2$-노름을 유계화한다.
• 코모고로프의 연속성 기준을 적용하여 확률 적분 과정의 연속 버전이 존재함을 증명한다.
• 스플리안의 보조정리와 가우시안 과정의 반사 원리를 적용하여 적분의 최댓값에 대한 尾 꼬리 경계를 도출한다.
• 적분 가능성 조건 $\|f\|_{L^{2/(1+\beta)}} < \infty$ 를 확립하고, 페르니크의 부등식을 사용하여 尾 꼬리 추정치의 모멘트 조건을 검증한다.
• 과정 $\int_0^t f(\tau)\,d\xi_\alpha(\tau)$ 가 평균이 0이고 공분산 $E[X(s)X(t)] = C\alpha(\alpha+1)\int_0^s\int_0^t \frac{f(u)f(v)}{|u-v|^{1-\alpha}}\,dudv$ 를 갖는 중심 가우시안 과정임을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 허더 연속 함수 $f$ 및 $g$ 에 대해 $\beta + \gamma > 1$ 일 때, 스티엘티에스 적분 $\int f\,dg$ 가 존재하는 조건은 무엇인가?
• RQ2 fBm이 세미마르팅게일이 아니므로, 경로 기반 확률 적분이 엄밀하게 구성될 수 있는가?
• RQ3 fBm에 의해 구동되는 SDE의 해가 허더 연속 함수 공간에서 존재하고 유일하기 위한 충분 조건은 무엇인가?
• RQ4 fBm의 허더 정규성으로부터 $\int_0^t f(\tau)\,d\xi_\alpha(\tau)$ 의 최댓값에 대한 尾 꼬리 추정치를 어떻게 도출할 수 있는가?
• RQ5 함수 $f$ 가 결정론적일 경우, 확률 적분의 최댓값의 확률 분포는 무엇인가?

주요 결과

• 정리 2에 제시된 새로운 표현 공식에 의해, $f \in \mathcal{C}^\beta$, $g \in \mathcal{C}^\gamma$ 이고 $\beta + \gamma > 1$ 일 때, 스티엘티에스 적분 $\int_0^t f\,dg$ 가 경로 기반으로 존재함을 입증하였다.
• 함수 $f \in L^{2/(1+\beta)}([0,\infty))$ 이고 $\beta < \alpha$ 일 때, 확률 적분 $\int_0^t f(\tau)\,d\xi_\alpha(\tau)$ 는 거의 확실히 연속 버전을 갖는다.
• 드리프트 및 확산 계수들이 적절한 허더 조건을 만족할 경우, fBm에 의해 구동되는 SDE의 해는 허더 연속 함수 공간에서 존재하고 유일하며, 확률 1로 성립한다.
• 스플리안의 보조정리와 반사 원리를 적용하여 $\int_0^t f(\tau)\,d\xi_\alpha(\tau)$ 의 최댓값에 대한 尾 꼬리 추정치를 도출하였으며, 다음과 같은 형태로 표현된다: $P(\max_{0\leq t\leq 1} X(t) \geq \lambda) \leq \int_{\lambda r / \sqrt{q_{f_+}(0,1)}}^\infty \sqrt{\frac{2}{\pi}} e^{-x^2/2} dx + \int_{\lambda(1-r)/\sqrt{q_{f_-}(0,1)}}^\infty \sqrt{\frac{2}{\pi}} e^{-x^2/2} dx$.
• 조건 $\int_1^\infty \sup_{|s-t|<m^{-x^2}} \sqrt{q_f(s,t)}\,dx < \infty$ 가 확인되어, 페르니크의 부등식이 尾 꼬리 추정치에 적용 가능함을 보장한다.