[논문 리뷰] Stochastic Comparisons of Lifetimes of Two Series and Parallel Systems with Location-Scale Family Distributed Components having Archimedean Copulas

Amarjit Kundu, Shovan Chowdhury|arXiv (Cornell University)|2017. 10. 02.

Statistical Distribution Estimation and Applications참고 문헌 25인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 구성 요소가 위치-척도 가족 분포를 따르고 아르키메데스 코풀라를 통해 종속성을 보일 때, 직렬 및 병렬 시스템 수명의 확률적 비교를 수립한다. 위치 또는 척도 매개수의 산란 증가가 시스템 성능을 확률적으로 향상시킨다는 것을 보여주며, 종속성이 없는 경우보다 종속성이 있는 경우에 더 일반적인 결과를 도출한다. 이는 이전의 지수 및 웨이부ll 분포에 대한 연구를 확장한다.

ABSTRACT

In this paper, we compare the lifetimes of two series and two parallel systems stochastically where the lifetime of each component follows location-scale (LS) family of distributions. The comparison is carried out under two scenarios: one, that the components of the systems have a dependent structure sharing Archimedean copula and two, that the components are independently distributed. It is shown that the systems with components in series or parallel sharing Archimedean copula with more dispersion in the location or scale parameters results in better performance in the sense of the usual stochastic order. It is also shown that if the components are independently distributed, it is possible to obtain more generalized results as compared to the dependent set-up. The results in this paper generalizes similar results in both independent and dependent set up for exponential and Weibull distributed components.

연구 동기 및 목표

• 독립적이지 않은 구성 요소가 아르키메데스 코풀라를 공유하는 경우에 대해, 이전에 독립 구성 요소에만 적용된 확률적 비교 결과를 보다 넓히는 것.
• 기존의 지수 및 웨이부ll 분포에 대한 결과를 더 넓은 위치-척도(LoS) 가족 분포로 일반화하는 것.
• 위치 및 척도 매개수의 변동이 독립 및 종속 구성 요소의 구조에서 시스템 수명에 미치는 확률적 영향을 조사하는 것.
• 일반적인 확률적 순서, 가능도 비율 순서, 노화가 빠른 순서에 대해 한 시스템이 다른 시스템을 확률적으로 지배하는 데 필요한 충분조건을 설정하는 것.
• 아르키메데스 코풀라와 LS 가족의 기저 분포를 사용하여 다양한 종속 구조에서의 시스템 성능을 비교하는 것.

제안 방법

• 위치-척도 가족 표현을 사용: $ X \sim LS(\lambda, \sigma, F) $, 여기서 $ F\left(\frac{x - \lambda}{\sigma}\right) $, $ \lambda $는 위치 매개수, $ \sigma $는 척도 매개수.
• 구성 요소의 종속성을 아르키메데스 코풀라를 통해 모델링하며, 생성자 $ \psi_1 $ 및 $ \psi_2 $와 그 역함수 $ \phi_1 = \psi_1^{-1} $, $ \phi_2 = \psi_2^{-1} $를 사용.
• 시스템 수명을 비교하기 위해 일반적인 확률적 순서, 가능도 비율 순서, 위험률 순서, 반전 위험률 순서를 적용.
• 주요화 이론과 $ \phi_2 \circ \psi_1 $의 초가역성(super-additivity)을 활용하여 확률적 지배 조건을 유도.
• 노화 행동 평가 및 순서 결과 도출을 위해 반전 위험률 함수 $ \tilde{r}_X(u) $와 위험률 함수 $ r_X(u) $를 사용.
• 시스템 수명 분포 함수 유도: 직렬 및 병렬 시스템에 대해 각각 $ G_{n:n}(t) = \psi_1\left[\sum_{k=1}^n \phi_1\left\{F\left(\frac{t - \lambda_k}{\sigma_k}\right)\right\}\right] $.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 위치 또는 척도 매개수의 산란 증가가 LS-분포 구성 요소를 가진 직렬 및 병렬 시스템의 확률적 성능에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ2 구성 요소가 아르키메데스 코풀라를 통해 종속되어 있을 때, 어떤 조건이 한 시스템이 다른 시스템을 확률적으로 지배하는가?
• RQ3 종속성 구조에서의 결과가 독립성 구조에서의 결과와 비교할 때, 일반성과 확률적 순서의 강도 측면에서 어떻게 다른가?
• RQ4 병렬 시스템에서 $ X_{n:n} \geq_{st} Y_{n:n} $가 성립하기 위한 코풀라 생성자 및 기저 분포에 대한 조건은 무엇인가?
• RQ5 어떤 상황에서 일반적인 확률적 순서, 가능도 비율 순서, 또는 노화가 빠른 순서가 두 개의 LS-분포 구성 요소를 가진 시스템 간에 성립하는가?

주요 결과

• 아르키메데스 코풀라를 공유하는 직렬 시스템에 대해, $ \mathbf{\frac{1}{\sigma}} \stackrel{w}{\succeq} \mathbf{\frac{1}{\xi}} $이면 $ X_{1:n} \geq_{st} Y_{1:n} $가 성립하며, 이는 $ \phi_2 \circ \psi_1 $가 초가역적이며 $ \psi_1 $ 또는 $ \psi_2 $가 로그凸인 경우, 그리고 $ X \geq_{st} Y $일 때 성립한다.
• 동일한 위치 매개수를 가진 병렬 시스템에 대해, $ \mathbf{\frac{1}{\sigma}} \stackrel{w}{\succeq} \mathbf{\frac{1}{\xi}} $이면 동일한 조건 하에 반전 위험률가 감소할 경우 $ X_{n:n} \geq_{st} Y_{n:n} $가 성립한다.
• 척도 매개수가 변하고 위치 매개수가 동일한 경우, $ \mathbf{\frac{1}{\sigma}} \stackrel{p}{\succeq} \mathbf{\frac{1}{\xi}} $이면 $ ur_X(u) $ 또는 $ ur_Y(u) $가 감소할 경우 $ X_{n:n} \geq_{st} Y_{n:n} $가 성립한다.
• 위치 매개수가 변하고 척도 매개수가 동일한 경우, $ \boldsymbol{\lambda} \succeq_w \boldsymbol{\mu} $이면 $ X \geq_{st} Y $이고 $ ur_X(u) $ 또는 $ ur_Y(u) $가 감소할 경우 $ X_{n:n} \geq_{st} Y_{n:n} $가 성립한다.
• 이 결과들은 이전의 지수 및 웨이부ll 분포에 대한 발견을 일반화하여, 독립 및 종속 구성 요소 모두에서 전체 위치-척도 가족으로 확장한다.
• 독립성의 경우 종속성의 경우보다 더 일반적인 결과를 도출할 수 있으며, 이는 초가역성 또는 생성자에 대한 로그凸성 조건이 필요 없기 때문이다.