[논문 리뷰] Stochastic control for a class of nonlinear kernels and applications

Dylan Possamaï, Xiaolu Tan외 1명|arXiv (Cornell University)|2015. 10. 28.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 79인용 수 61

한 줄 요약

이 논문은 후행 확률적 미분 방정식(이하 BSDE)로 표현된 비선형 커널의 확률적 제어에 대해 동적 프rogramming 원리를 수립하며, 가치 함수의 반마르팅글 성질을 가능하게 한다. 이는 생성자나 종단 조건에 대한 정규성 가정 없이 2차 BSDE의 잘 정의됨을 증명하고, 강건한 선택적 분해를 유도하며, 추가적인 정규성 조건 하에서 경로에 의존하는 PDE의 점성 해와 가치 함수를 연결한다.

ABSTRACT

We consider a stochastic control problem for a class of nonlinear kernels. More precisely, our problem of interest consists in the optimisation, over a set of possibly non-dominated probability measures, of solutions of backward stochastic differential equations (BSDEs). Since BSDEs are nonlinear generalisations of the traditional (linear) expectations, this problem can be understood as stochastic control of a family of nonlinear expectations, or equivalently of nonlinear kernels. Our first main contribution is to prove a dynamic programming principle for this control problem in an abstract setting, which we then use to provide a semi-martingale characterisation of the value function. We next explore several applications of our results. We first obtain a wellposedness result for second order BSDEs (as introduced in [86]) which does not require any regularity assumption on the terminal condition and the generator. Then we prove a nonlinear optional decomposition in a robust setting, extending recent results of [71], which we then use to obtain a super-hedging duality in uncertain, incomplete and nonlinear financial markets. Finally, we relate, under additional regularity assumptions, the value function to a viscosity solution of an appropriate path-dependent partial differential equation (PPDE).

연구 동기 및 목표

• 비선형 커널의 맥락에서 비지배 확률 측도에 대한 확률적 제어에 대해 동적 프로그래밍 원리를 개발하는 것.
• 조건부 비선형 기대를 활용하여 이러한 제어 문제의 가치 함수를 반마르팅글 분해를 통해 특성화하는 것.
• 생성자나 종단 조건에 대한 정규성 조건 없이도 2차 BSDE의 잘 정의됨을 확립하는 것.
• 지배 측도가 없는 조건 하에서 강건한 선택적 분해 정리를 도출하는 것.
• 추가적인 정규성 가정 하에서 제어 문제의 가치 함수가 적절한 경로에 의존하는 PDE의 점성 해임을 연결하는 것.

제안 방법

• BSDE 표현을 통해 비선형 확률 커널에 대해 측정 가능 선택 및 붙임 기법을 일반화하는 것.
• 조건부 비선형 기대를 활용한 추상적 설정에서의 동적 프로그래밍 원리 적용.
• 반마르팅글 분해를 통해 가치 함수를 국소 마르팅글과 유한 변동 과정의 합으로 특성화하는 것.
• 리프시츠 생성자와 유계 종단 조건을 갖는 BSDE의 비교 및 안정성 결과를 적용하는 것.
• 도레앙-다드 지수와 이토의 공식을 사용하여 초해의 비교 원리를 도출하는 것.
• 사전 추정과 등가 적분 가능성을 활용하여 정지 시간 극한 하에서 해의 수렴성을 증명하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비선형 BSDE의 맥락에서 비지배 측도에 대한 확률적 제어에 대해 동적 프로그래밍 원리가 엄밀하게 수립될 수 있는가?
• RQ2 이러한 제어 문제의 가치 함수가 반마르팅글로 특성화될 수 있는가?
• RQ3 생성자나 종단 조건에 대한 정규성 가정 없이 2차 BSDE가 잘 정의됨이 보장되는 조건은 무엇인가?
• RQ4 지배 측도가 없는 조건 하에서 강건한 선택적 분해를 도출할 수 있는가?
• RQ5 제어 문제의 가치 함수가 적절한 경로에 의존하는 PDE의 점성 해인가?

주요 결과

• BSDE로 표현된 비선형 커널의 확률적 제어에 대해 동적 프로그래밍 원리가 비지배 설정에서도 성립함을 보였다.
• 가치 함수는 반마르팅글 분해를 갖는다. 이는 최적 제어 문제의 확률적 특성화를 제공한다.
• 종단 조건이나 생성자에 대한 정규성 가정 없이도 2차 BSDE가 잘 정의됨을 증명하였다. 이는 이전 결과를 일반화한 것이다.
• 강건한 선택적 분해가 도출되었으며, 이는 이전 결과를 일반화하고 불확실하고 불완전한 시장에서의 초헤징 이중성 가능성을 제공한다.
• 균일 연속성과 유계성 가정 하에서, 가치 함수는 유계 균일 연속 함수 공간 내에서 유일한 점성 해이다.
• 사전 추정과 비교 원리를 기반으로 하여, 정지 시간 극한 하에서 해의 수렴성이 등가 적분 가능성을 통해 확립되었다.