[논문 리뷰] Stochastic convective Brinkman-Forchheimer equations on general Unbounded Domains

Manil T. Mohan, Manil T. Mohan|arXiv (Cornell University)|2020. 07. 18.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 51인용 수 19

한 줄 요약

이 논문은 스펙트럼 근사에 의한 에너지 등식과 확률적 Minty-Browder 기법을 사용하여, 다중 가우시안 노이즈가 있는 비유계 도메인에서의 확률적 난류 Brinkman-Forchheimer 방정식에 대해 경로적으로 유일한 강한 해의 존재를 확립한다. 이는 큰 점성계수 조건 하에서 지속 가능한 측도의 지수적 안정성, 에르고딕성 및 강한 혼합성을 포함하며, 유계 영역으로의 정(regularity) 및 장기적 거동 결과를 비유계 설정으로 확장한다.

ABSTRACT

The stochastic convective Brinkman-Forchheimer (SCBF) equations in an open connected set $\mathcal{O}\subseteq\mathbb{R}^d$ ($d\in \{2,3,4\}$) or torus are considered in this work. We show the existence of a pathwise unique strong solution (in the probabilistic sense) satisfying the energy equality (Itô formula) to SCBF equations perturbed by multiplicative Gaussian noise. We exploited a monotonicity property of the linear and nonlinear operators as well as a stochastic generalization of the Minty-Browder technique in the proofs. The energy equality is obtained by approximating the solution using approximate functions constituting the elements of eigenspaces of a compact operator in such a way that the approximations are bounded and converge in both Sobolev and Lebesgue spaces simultaneously. We further discuss the global in time regularity results of such strong solutions on the torus. The exponential stability results (in mean square and pathwise sense) for the stationary solutions is also established in this work for large effective viscosity. Moreover, a stabilization result of the stochastic convective Brinkman-Forchheimer equations by using a multiplicative noise is obtained. Finally, when $\mathcal{O}$ is a bounded domain, we establish the existence of a unique invariant measure for the SCBF equations with multiplicative Gaussian noise, which is both ergodic and strongly mixing, using the exponential stability of strong solutions.

연구 동기 및 목표

• 비유계 도메인에서 다중 가우시안 노이즈 하에 확률적 난류 Brinkman-Forchheimer 방정식에 대해 강한 해의 존재성과 유일성을 확립한다.
• 소볼레프 공간과 레베그 공간에서 스펙트럼 근사를 통해 해에 대한 에너지 등식(이토 공식)을 증명한다.
• 큰 효과 점성계수 조건 하에서 정적 해의 전역 정규성 및 지수적 안정성(평균 제곱 및 경로 기반)을 분석한다.
• 다중 노이즈에 의한 시스템 안정화를 보여주고, 유일하고, 에르고딕적이며, 강하게 혼합되는 불변 측도의 존재를 증명한다.

제안 방법

• 강한 해의 존재성과 유일성을 확립하기 위해 Minty-Browder 기법의 확률적 일반화를 사용한다.
• 스토크스 연산자의 고유함수를 사용한 스펙트럼 근사를 통해 소볼레프 공간과 레베그 공간 양쪽에서 수렴의 유계성을 확보한다.
• 에너지 추정과 그로워발 유형 부등식을 적용하여 평균 제곱 및 경로 기반 안정성에 대한 지수적 감쇠를 도출한다.
• 강한 해의 지수적 안정성을 핵심 요소로 활용하여, 고유한 불변 측도의 존재를 증명한다.
• 펠러 성질과 확률적 수렴을 적용하여 불변 측도의 에르고딕성 및 강한 혼합성을 확립한다.
• 확률적 설정에서 선형 및 비선형 연산자의 단조성을 활용하여 비선형 항을 제어하고 정규성을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 다중 노이즈가 있는 비유계 도메인에서의 확률적 난류 Brinkman-Forchheimer 방정식에 대해 경로적으로 유일한 강한 해가 존재하는가?
• RQ2 스펙트럼 근사를 통해 이러한 해에 대해 에너지 등식(이토 공식)을 엄밀하게 확립할 수 있는가?
• RQ3 시스템이 평균 제곱 및 경로 기반 지수적 안정성을 보이는 조건은 무엇인가?
• RQ4 다중 노이즈가 시스템을 안정화시키는가? 만약 그렇다면, 점성계수 조건은 무엇인가?
• RQ5 확률적 시스템에 대해 고유하고, 에르고딕적이며, 강하게 혼합되는 불변 측도가 존재하는가?

주요 결과

• 다중 노이즈가 있는 비유계 도메인에서의 확률적 난류 Brinkman-Forchheimer 방정식에 대해 경로적으로 유일한 강한 해가 존재하며, 이는 에너지 등식을 만족한다.
• 효과 점성계수 $\mu > \frac{2\eta + L}{\lambda_1}$ 조건을 만족할 경우, 해는 평균 제곱 및 경로 기반 지수적 안정성을 만족한다.
• 다중 노이즈에 의해 시스템이 안정화되며, 불변 측도는 고유하고, 에르고딕적이며, 강하게 혼합된다.
• r > 3 인 경우, 조건 $\mu > \frac{L}{\lambda_1}$ 하에서 불변 측도가 존재하고 고유하며, 지수적 혼합성이 성립한다.
• 주기적 도메인에서 강한 해의 전역 정규성이 확립되었으며, 이는 기존 결과를 비유계 설정으로 확장한다.
• 불변 측도로의 수렴 $\mathrm{P}_t\varphi(\mathbf{u}_0)$ 는 지수적으로 빠르게 일어나며, 강한 혼합성을 확인한다.