[논문 리뷰] Stochastic De Giorgi Iteration and Regularity of Stochastic Partial Differential Equation

Elton P. Hsu, Yu Wang외 1명|arXiv (Cornell University)|2013. 12. 11.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 8인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 점진적으로 측정 가능한, 균일 타원형인 확산 계수와 리프시츠 유형의 비선형 항을 갖는 반선형 확률 편미분방정식의 해에 대해, 새로운 확률적 디지오프리 반복 방법을 도입하여 거의 확실한 허더 연속성을 확립한다. 주요 결과는 계수에 연속성 가정이 없더라도 해가 공간과 시간에서 거의 확실하게 허더 연속적이며, 모든 차수의 모멘트를 갖는다는 것이다.

ABSTRACT

Under general conditions we show that the solution of a stochastic parabolic partial differential equation of the form \[ \partial_t u = \mathrm{div} (A abla u) + f(t,x, u) + g_i (t,x,u) \dot{w}^i_t \] is almost surely Hölder continuous in both space and time variables.

연구 동기 및 목표

• 비연속적이고 점진적으로 측정 가능한 계수를 갖는 반선형 확률 편미분방정식의 해에 대한 허더 정규성을 확립하기 위해.
• 확률적 환경에서 디지오프리-나시-모저 이론을 연속성 조건 없이 확장하기 위해.
• 일반적인 성장 조건과 타원 조건 하에서 해의 허더 노름에 대한 모멘트 추정을 제공하기 위해.
• PDE 에너지 추정과 확률 분석 기법을 융합한, 디지오프리 반복의 확률적 버전을 개발하기 위해.

제안 방법

• 시간-공간 실린더의 축소에 걸쳐 해의 $L^\rho$-노름을 제어하기 위해 디지오프리 반복의 확률적 변형을 도입하기 위해.
• 기하학적 변환을 통해 기하학적 변환을 통해 확률적 적분 항을 제어하고 해의 $L^\rho$-노름에 대한 모멘트 추정을 유도하기 위해.
• 노빅로프 조건을 적용하여 지수 마틴갈을 잘 정의함으로써 일반적인 확산 조건 하에서 모멘트 추정을 가능하게 하기 위해.
• 해를 확률적 열 방정식 성분과 잔여항으로 분해하여 잔여항에 대해 결정론적 정규성 이론을 적용하기 위해.
• 크릴로프의 $W^{2,p}$-이론과 리벨만의 비확률적 PDE에 대한 정규성 결과를 활용하여 잔여항의 허더 연속성을 확립하기 위해.
• 확률적 성분과 결정론적 잔여항에 대한 모멘트 추정을 조합하여 모든 차수의 유한 모멘트를 갖는 최종 허더 연속성 결과를 도출하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 점진적으로 측정 가능하고 균일 타원형인 확산 계수만을 갖는 반선형 SPDE의 해에 대해 허더 연속성을 확립할 수 있는가?
• RQ2 계수에 대한 최소한의 정규성 가정 하에서 디지오프리 반복 기법이 확률적 PDE에 확장 가능한가?
• RQ3 A, f, 또는 g에 연속성 가정 없이도 해의 $L^\rho$-노름에 대한 모멘트 추정을 도출할 수 있는가?
• RQ4 $L^2$ 초깃값과 선형 성장 조건만을 가정할 때, 공간과 시간에서 해가 거의 확실하게 허더 연속적이게 될 수 있는가?
• RQ5 확률적 정규성 이론과 결정론적 정규성 이론을 어떻게 융합하여 해의 허더 노름에 대한 모멘트 추정을 유도할 수 있는가?

주요 결과

• 모든 $T > 0$ 에 대해, SPDE의 해 $u$ 는 $[T, 2T] \times \mathbb{R}^n$ 에서 거의 확실하게 공간과 시간에서 허더 연속적이며, 지수 $\alpha = \alpha(n, \lambda, \Lambda)$ 를 갖는다.
• 모든 $p > 0$ 에 대해, 허더 반노름 $\|u\|_{C^\alpha([T,2T] \times \mathbb{R}^n)}$ 의 $p$-번째 모멘트는 $\|u_0\|_{L^2}$, $\|K\|_{L^2}$, 및 $\|K\|_{L^\infty}$ 에 의존하는 상수에 의해 유계이다.
• 모든 $p > 0$ 에 대해, $\mathbb{E} \int_0^{2T} \|u(t)\|_2^p dt + \mathbb{E} \|u\|_{\infty,[T,2T] \times \mathbb{R}^n}^p \leq C(\|u_0\|_2 + \|K\|_2 + \|K\|_\infty)^p$ 이 성립한다.
• 확률적 디지오프리 반복 방법은 해의 Supremum 노름의 尾확률을 효과적으로 제어하여 모멘트 추정을 도출할 수 있다.
• 이 방법은 $A$, $f$, 및 $g$ 가 연속적이지 않은 경우에도 적용 가능하여, 고전적 가정을 초월한 정규성 결과를 확장한다.
• 해를 $u = \phi + v$ 로 분해하여 $v$ 가 확률적 열 방정식을 만족하고 $\phi$ 가 결정론적 PDE를 만족하도록 하여, 결정론적 정규성 이론을 적용함으로써 허더 연속성을 도출할 수 있다.