[논문 리뷰] Stochastic differential equation with jumps for multi-type continuous state and continuous time branching processes with immigration

Mátyás Barczy, Zenghu Li외 1명|arXiv (Cornell University)|2014. 03. 02.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 16인용 수 43

한 줄 요약

이 논문은 moment 조건 하에서 이민을 포함한 일반적인 다형태 연속 상태 및 연속 시간 분열 과정(CBI)이 점프를 동반한 확률미분방정식(SDE)의 경로로 유일한 강해(solution)로 표현될 수 있음을 입증한다. SDE는 브라운 운동, 포아송 랜덤 측도, 보정된 점프 측도를 포함하며, CBI 과정을 확산, 이동, 점프 성분에 의해 구동되는 해로 식별한다.

ABSTRACT

A multi-type continuous state and continuous time branching process with immigration satisfying some moment conditions is identified as a pathwise unique strong solution of certain stochastic differential equation with jumps.

연구 동기 및 목표

• 이민을 포함한 다형태 연속 상태 및 연속 시간 분열 과정(CBI)을 점프를 동반한 확률미분방정식(SDE)으로 특성화하기.
• moment 조건 하에서 제안된 SDE에 대한 약해(solution)의 존재성과 유일성을 확립하기.
• SDE에 대해 경로로 유일성과 강해 존재성을 증명하여 이를 직접적으로 CBI 과정과 연결하기.
• 단일형태 및 이형태 CBI 과정에 대한 이전 결과를 일반 이민을 포함한 다형태 경우로 일반화하기.
• 표현 정리에 기반하여 CBI 과정을 연속 국소martingale, 순수하게 이산적인 국소martingale, 그리고 이동항의 합으로 표현하기.

제안 방법

• 이민 초과정을 국소martingale와 이동항의 합으로 표현함으로써 일반적인 다형태 CBI 과정에 대한 점프를 동반한 SDE를 유도하기.
• 순수하게 이산적인 국소martingale 성분을 랜덤 측도 $ \widetilde{N}_0 $ 의 보정을 통해 표현하기.
• 오른쪽 연속 martingale에 대한 표현 정리를 활용하여 점프 적분을 포아송 및 보정된 포아송 랜덤 측도로 재기록하기.
• Li [13, Proposition 9.11]에서 유도된 CBI 과정의 1차 모멘트 공식을 적용하여 이동항과 점프항을 규명하기.
• moment 조건과 SDE의 구조를 활용하여 $[0,\infty)^d$-값을 가진 약해해들 사이에서 약해해의 유일성을 법칙으로 증명하기.
• Ma [14]의 기법을 확장하여 비교 정리를 적용함으로써 SDE에 대해 경로로 유일성과 강해 존재성을 확립하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 이민을 포함한 일반적인 다형태 CBI 과정은 moment 조건 하에서 점프를 동반한 SDE의 경로로 유일한 강해로 표현될 수 있는가?
• RQ2 CBI 과정의 점프 성분은 포아송 및 보정된 포아송 측도를 통해 어떻게 분해될 수 있는가?
• RQ3 약해 및 강해의 존재성과 유일성을 보장하는 moment 조건는 무엇인가?
• RQ4 SDE 표현은 CBI 과정의 무한소 생성자와 족집게 구조와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ5 SDE는 단일형태 및 이형태 CBI 과정에 대한 이전 결과를 어떻게 일반화하는가?

주요 결과

• moment 조건 하에서 CBI 과정은 특정한 점프를 동반한 SDE의 경로로 유일한 강해로 식별된다.
• SDE는 브라운 운동 성분, 이동항, 그리고 $ (0,\infty) \times ([0,\infty)^d \setminus \{\mathbf{0}\}) $ 위의 랜덤 측도에 의해 구동되는 보정된 점프 적분을 포함한다.
• SDE의 임의의 $[0,\infty)^d$-값을 가진 약해해는 CBI 과정이므로, SDE와 CBI 과정의 클래스 사이에 등가성이 확립된다.
• CBI 과정의 1차 모멘트는 Li [13, Proposition 9.11]에서 유도된 공식을 통해 특성화되며, 이는 SDE 유도에 필수적이다.
• SDE는 $[0,\infty)^d$-값을 가진 약해해들 사이에서 경로로 유일성이 성립하므로, 경로로 유일한 강해 존재성이 보장된다.
• 이 결과는 Ma [14]의 특수한 이형태 CBI 과정에 대한 연구를 일반 이민을 포함한 전체 다형태 경우로 일반화한다.